Um sistema de controle tem
e um processo de segunda ordem Gp com
, que será controlado por um controlador
(ou seja, o tempo integral do controlador é definido igual à constante de tempo dominante). Para uma mudança no set-point: Ache a equação característica, que é um polinômio quadrático em s. A resposta em malha fechada é superamortecida ou subamortecida?
Passo 1
O exercício pede para a gente pegar um processo de segunda ordem
Gp(s)=2/[(4s+1)(s+1)]
controlado por um PI com tempo integral Ti=4 min e ganhos de malha (Gm=Gv=1), e então:
• achar a equação característica em s (um polinômio quadrático)
• dizer se a resposta em malha fechada é superamortecida (raízes reais) ou subamortecida (raízes complexas).
Para isso vamos precisar:
– conhecer a função de transferência do PI:
Gc(s)=Kc·(1+1/(Ti s)), aqui Kc=1 pois Gm=Gv=1
– montar a L(s)=Gc(s)·Gp(s)
– escrever 1+L(s)=0 e extrair o polinômio
– verificar o discriminante da equação quadrática
Gp(s)=2/[(4s+1)(s+1)]
controlado por um PI com tempo integral Ti=4 min e ganhos de malha (Gm=Gv=1), e então:
• achar a equação característica em s (um polinômio quadrático)
• dizer se a resposta em malha fechada é superamortecida (raízes reais) ou subamortecida (raízes complexas).
Para isso vamos precisar:
– conhecer a função de transferência do PI:
Gc(s)=Kc·(1+1/(Ti s)), aqui Kc=1 pois Gm=Gv=1
– montar a L(s)=Gc(s)·Gp(s)
– escrever 1+L(s)=0 e extrair o polinômio
– verificar o discriminante da equação quadrática
Passo 2
Primeiro, escrevendo tudo em fórmula:
Gp(s) = \frac{2}{(4s+1)(s+1)}
Gc(s) = 1!\left(1 + \frac{1}{4s}\right) = \frac{4s+1}{4s}
Agora o ganho em malha aberta é
L(s) = Gc(s),Gp(s) = \frac{4s+1}{4s};\cdot;\frac{2}{(4s+1)(s+1)}
Repare que o (4s+1) cancela, sobrando
L(s) = \frac{2}{4s(s+1)} = \frac{1}{2,s(s+1)}
Gp(s) = \frac{2}{(4s+1)(s+1)}
Gc(s) = 1!\left(1 + \frac{1}{4s}\right) = \frac{4s+1}{4s}
Agora o ganho em malha aberta é
L(s) = Gc(s),Gp(s) = \frac{4s+1}{4s};\cdot;\frac{2}{(4s+1)(s+1)}
Repare que o (4s+1) cancela, sobrando
L(s) = \frac{2}{4s(s+1)} = \frac{1}{2,s(s+1)}
Passo 3
A equação característica em malha fechada vem de
1 + L(s) = 0
ou seja
1 + \frac{1}{2,s(s+1)} = 0
Multiplicando tudo por 2s(s+1):
2s(s+1) + 1 = 0
Desenvolvendo:
2s^2 + 2s + 1 = 0
Esse é o polinômio quadrático que queríamos.
Para saber o tipo de amortecimento, olhamos o discriminante Δ = b^2 – 4ac = 2^2 – 4·2·1 = 4 – 8 = –4.
Como Δ < 0, as raízes são complexas conjugadas → resposta subamortecida.
1 + L(s) = 0
ou seja
1 + \frac{1}{2,s(s+1)} = 0
Multiplicando tudo por 2s(s+1):
2s(s+1) + 1 = 0
Desenvolvendo:
2s^2 + 2s + 1 = 0
Esse é o polinômio quadrático que queríamos.
Para saber o tipo de amortecimento, olhamos o discriminante Δ = b^2 – 4ac = 2^2 – 4·2·1 = 4 – 8 = –4.
Como Δ < 0, as raízes são complexas conjugadas → resposta subamortecida.
Resposta
Equação característica:
;2s^2 + 2s + 1 = 0
Resposta em malha fechada: subamortecida.
;2s^2 + 2s + 1 = 0
Resposta em malha fechada: subamortecida.