Um processo de troca iônica usando uma resina para remover ions de cobre de uma solução foi feito em uma coluna de 2,54 \mathrm{~cm} de diâmetro e 37 cm de altura. A vazão da solução foi de 6 \mathrm{~L} / \mathrm{h} e o ponto de ruptura ocorreu aos 7 min . A fração da capacidade total do leito que foi utilizada até o ponto de ruptura foi igual a 0,6 . Calcule o diâmetro de uma nova coluna que terá 1 m de altura e que irá operar a uma vazăo de 18 \mathrm{~L} / \mathrm{h}. Qual será o tempo de ruptura para essa nova coluna?

Passo 1

O enunciado trata de escalar uma coluna de troca iônica que, em operação teste, tinha as seguintes características:
– Diâmetro D_{1}=2{,}54\text{ cm} e altura H_{1}=37\text{ cm}.
– Vazão Q_{1}=6\text{ L/h}.
– Ponto de ruptura (breakthrough) em t_{1}=7\text{ min}.
– Fração de capacidade utilizada até a ruptura f=0{,}6.
O objetivo é projetar uma nova coluna com H_{2}=1{,}00\text{ m} e vazão Q_{2}=18\text{ L/h}, encontrando (a) o diâmetro D_{2} e (b) o tempo de ruptura t_{2}. Vamos supor que, no dimensionamento, se mantenha a mesma velocidade superficial da fase líquida (mesmo u) e que a ruptura ocorra na mesma fração f da capacidade total do leito.

Passo 2

Calcular a velocidade superficial u na coluna original. Primeiro, convertemos tudo para unidades SI:
D_{1}=2{,}54\text{ cm}=0{,}0254\text{ m}, \quad H_{1}=0{,}37\text{ m}, \quad Q_{1}=6\text{ L/h}=0{,}006\text{ m}^3/\text{h}.
A área da seção transversal é
A_{1} = \frac{\pi D_{1}^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}0254)^2}{4}\approx 5{,}067\times 10^{-4}\,\text{m}^2.
Logo a velocidade superficial é
u = \frac{Q_{1}}{A_{1}} = \frac{0{,}006}{5{,}067\times 10^{-4}} \approx 11{,}84\;\text{m/h}.

Passo 3

Para manter essa mesma u na nova coluna, usamos
A_{2} = \frac{Q_{2}}{u}, \quad Q_{2}=18\text{ L/h}=0{,}018\text{ m}^3/\text{h}.
A_{2} = \frac{0{,}018}{11{,}84} \approx 1{,}519\times 10^{-3}\,\text{m}^2.
O diâmetro resultante é
D_{2} = \sqrt{\frac{4\,A_{2}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\,(1{,}519\times 10^{-3})}{\pi}} \approx 0{,}0439\text{ m} = 4{,}39\text{ cm}.

Passo 4

Agora calculamos o tempo de ruptura t_{2} usando que, para a mesma fração f, vale a proporção
\frac{t_{2}}{t_{1}} = \frac{(V_{2}/Q_{2})}{(V_{1}/Q_{1})},
onde V_{i}=A_{i}H_{i}. Temos
V_{1} = A_{1}H_{1} = 5{,}067\times 10^{-4}\times 0{,}37 \approx 1{,}875\times 10^{-4}\,\text{m}^3,
V_{2} = A_{2}H_{2} = 1{,}519\times 10^{-3}\times 1{,}00 = 1{,}519\times 10^{-3}\,\text{m}^3.
Logo
t_{2} = t_{1}\,\frac{V_{2}/Q_{2}}{V_{1}/Q_{1}} = 7\text{ min}\;\times \frac{\bigl(1{,}519\times 10^{-3}/0{,}018\bigr)} {\bigl(1{,}875\times 10^{-4}/0{,}006\bigr)} \approx 7\;\times 2{,}70 \approx 18{,}9\text{ min}.

Resposta

O diâmetro da nova coluna deve ser cerca de 4,39 cm, e o tempo de ruptura previsto é aproximadamente 18,9 min.

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