Em processos industriais que utilizam resisténcias elétricas, a eficiéncia do resfriamento influencia diretamente na segurança operacional e na durabilidade dos equipamentos. Considere um fío de resistência elétrica, fabricado em aço inoxidável com diâmetro de 0,25 \mathrm{~cm} \mathrm{e} comprimento de 4,0 \mathrm{~m}, operando com poténcia elétrica de 2,0 \mathrm{~kW}. Esse fio dissipa toda sua energia na forina de calor. O ambiente onde o fio opera está a 30^{\circ} \mathrm{C}, e um ventilador promove resfriamento com escoamento de ar a velocidade de 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, perpendicular ao fio. A transferéncia de calor por radiação é considerada desprezivel, e as propriedades do aço inoxidável incluem uma condutividade térmica de 15 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C}, suficiente para garantir que a temperatura ao longo do fio seja praticamente uniforme…
Diante desse cenário, qual é a temperatura da superficie externa do fio, considerando regime permanente e equilibrio entre a geração e a dissipação de calor?

Passo 1

O enunciado pede a temperatura da superfície externa do fio no regime permanente, assumindo equilíbrio entre geração e dissipação de calor. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (vou listar tudo para não nos perder):
  • Diâmetro do fio: D=0,25\\ \mathrm{cm} (vou usar em metros: D=0,0025\\ \mathrm{m}).
  • Comprimento do fio: L=4,0\\ \mathrm{m}.
  • Potência elétrica dissipada (toda em calor): P=2,0\\ \mathrm{kW}=2000\\ \mathrm{W}.
  • Temperatura do ambiente (ar): T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do ar (escoamento perpendicular ao fio): U=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Transferência por radiação desprezível (ou seja, só consideramos convecção).
  • Condutividade térmica do aço inox: k_{\text{aço}}=15\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}ç, suficiente para garantir temperatura praticamente uniforme ao longo do fio (isto justifica tratar a superfície do fio com uma única temperatura T_s).
    A pergunta é: qual é T_s tal que, em regime permanente, a potência gerada P seja evacuada pela convecção do ar?

Passo 2

Ideia geral e equação de balanço de energia (sem ainda calcular nada):
  • Em regime permanente, energia gerada = energia removida por convecção. Como a radiação é desprezível,
P = Q_{\text{conv}} = h\,A_s\,(T_s - T_{\infty}),
onde:
  • h é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m ^2·°C),
  • A_s é a área externa do fio (m ^2),
  • T_s é a temperatura da superfície do fio (°C),
  • T_{\infty} é a temperatura do ar (°C).
  • Assim a temperatura buscada é
T_s = T_{\infty} + \frac{P}{h\,A_s}.
Logo precisamos calcular A_s e h. Vou explicar como obter h para fluxo transversal em um cilindro (fio).

Passo 3

Cálculo da área superficial do fio:
  • Área lateral de um cilindro: A_s=\pi D L.
  • Substituindo:
A_s = \pi \times 0,0025\\ \mathrm{m} \times 4,0\\ \mathrm{m} = \pi \times 0,01\\ \mathrm{m^2} = 0,0314159\\ \mathrm{m^2}.
(Arredondarei nas contas finais, mas guardo este valor para usar abaixo.)

Passo 4

Como determinar h (introdução aos conceitos físicos):
  • Para convecção externa em fluxo perpendicular sobre um cilindro (fio fino), usa-se correlações de número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_D sobre o diâmetro D. A relação é
h = \frac{\mathrm{Nu}_D\,k_{\text{ar}}}{D},
onde k_{\text{ar}} é a condutividade térmica do ar.
  • O número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_D depende de Re (número de Reynolds) e Pr (número de Prandtl). Vou usar a correlação prática e amplamente usada de Churchill e Bernstein (válida numa ampla faixa de Re e Pr):
\mathrm{Nu}_D = 0,3 + \frac{0,62\,Re^{1/2}\,Pr^{1/3}}{\bigl(1+(0,4/Pr)^{2/3}\bigr)^{1/4}} \left[1+\left(\frac{Re}{282000}\right)^{5/8}\right]^{4/5}.
  • Agora precisamos das propriedades do ar à temperatura do problema. Vou tomar valores típicos à 30^\circ\mathrm{C} (explicando que são propriedades padrão do ar seco e que as pequenas variações não mudam muito o resultado):
    • condutividade térmica: k_{\text{ar}}=0,026\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)},
    • viscosidade cinemática: \nu=1,6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},
    • número de Prandtl: Pr=0,71.
      (Se na prova der outras tabelas, usar aquelas; aqui uso estes valores correntes para ar a 30^\circ\mathrm{C}.)

Passo 5

Cálculo do número de Reynolds Re:
  • Definição: Re=\dfrac{U\,D}{\nu}.
  • Substituindo os números:
Re = \frac{5\\ \mathrm{m/s}\times 0,0025\\ \mathrm{m}}{1,6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}} = \frac{0,0125}{1,6\times 10^{-5}} = 781{,}25.
  • Interpretação rápida: Re\approx 7,8\times 10^{2}, fluxo sobre o fio em regime laminar/turbulento na camada limite? Para cilindro essa ordem de Re é de escoamento de baixo para moderado — a correlação de Churchill-Bernstein é adequada aqui.

Passo 6

Cálculo do número de Nusselt médio \mathrm{Nu}_D usando a correlação:
  • Primeiro calculemos as partes da expressão. Vou mostrar os cálculos passo a passo.
    • Re^{1/2} = \sqrt{781{,}25} \approx 27{,}96.
    • Pr^{1/3} = 0{,}71^{1/3} \approx 0{,}892.
    • Produto: 0{,}62\,Re^{1/2}\,Pr^{1/3} \approx 0{,}62\times 27{,}96\times 0{,}892 \approx 15{,}46.
    • Denominador interno: 1+(0,4/Pr)^{2/3}. Primeiro 0,4/Pr = 0{,}4/0{,}71 \approx 0{,}5634. Então (0{,}5634)^{2/3}\approx 0{,}682. Assim 1+(\cdots)=1{,}682. Tomando potência 1/4: (1{,}682)^{1/4}\approx 1{,}139.
    • Dividindo: \dfrac{0{,}62\,Re^{1/2}\,Pr^{1/3}}{(1+(0,4/Pr)^{2/3})^{1/4}} \approx \dfrac{15{,}46}{1{,}139}\approx 13{,}57.
    • Fator corretor de altas/baixas Re: 1+\left(\dfrac{Re}{282000}\right)^{5/8}. Primeiro \dfrac{Re}{282000}\approx 0{,}00277. Elevação: (0{,}00277)^{5/8}\approx 0{,}0253. Então 1+\cdots = 1{,}0253. Potência 4/5: (1{,}0253)^{4/5}\approx 1{,}0202.
    • Multiplicando: 13{,}57\times 1{,}0202 \approx 13{,}85.
    • Finalmente somamos o termo 0,3:
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}3 + 13{,}85 = 14{,}15.

Passo 7

Cálculo do coeficiente convectivo h:
  • Fórmula: h = \dfrac{\mathrm{Nu}_D\,k_{\text{ar}}}{D}.
  • Substituindo: \mathrm{Nu}_D\approx 14{,}15, k_{\text{ar}}=0{,}026\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)}, D=0{,}0025\\ \mathrm{m}.
h \approx \frac{14{,}15 \times 0{,}026}{0{,}0025} =14{,}15 \times \frac{0{,}026}{0{,}0025} =14{,}15 \times 10{,}4 \approx 147{,}2\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}.
  • Interpretação: este é um h relativamente alto (como esperado para fio fino com ar movendo-se rápido).

Passo 8

Agora volte ao balanço de energia e calcule T_s:
  • A equação que já escrevemos:
T_s = T_{\infty} + \frac{P}{h\,A_s}.
  • Substituindo P=2000\\ \mathrm{W}, h\approx 147{,}2\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}, A_s\approx 0{,}031416\\ \mathrm{m^2} e T_{\infty}=30^\circ\mathrm{C}:
    • Primeiro calcule h\,A_s:
h\,A_s \approx 147{,}2\times 0{,}0314159 \approx 4{,}626\\ \mathrm{W/^\circ C}.
  • Em seguida \dfrac{P}{h\,A_s} \approx \dfrac{2000}{4{,}626} \approx 432{,}2\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Logo
T_s \approx 30^\circ\mathrm{C} + 432{,}2^\circ\mathrm{C} = 462{,}2^\circ\mathrm{C}.

Passo 9

Discussão curta (para interpretar o resultado e como agir na prova):
  • O valor final \approx 462^\circ\mathrm{C} indica que um fio fino dissipando 2\\ \mathrm{kW} sem radiação e apenas convecção por ar pode aquecer bastante — é plausível fisicamente.
  • Fontes de incerteza: propriedades do ar (use a tabela da prova se houver), correlação para \mathrm{Nu}_D (use a que a prova indicar), e se a radiação realmente fosse desprezível a altas temperaturas isto pode subestimar a dissipação (a radiação aumenta com T^4). Se a prova der dados diferentes, substitua na mesma sequência de passos.
  • Método resumo para prova: 1) escrever balanço P=hA(T_s-T_\infty), 2) obter A, 3) calcular Re e Pr, 4) usar correlação para \mathrm{Nu}_D, 5) h=\mathrm{Nu}_D k/D, 6) resolver para T_s.

Resposta

T_s \approx 462{,}2^\circ\mathrm{C}

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