Em processos industriais que utilizam resisténcias elétricas, a eficiéncia do resfriamento influencia diretamente na segurança operacional e na durabilidade dos equipamentos. Considere um fío de resistência elétrica, fabricado em aço inoxidável com diâmetro de
comprimento de
, operando com poténcia elétrica de
. Esse fio dissipa toda sua energia na forina de calor. O ambiente onde o fio opera está a
, e um ventilador promove resfriamento com escoamento de ar a velocidade de
, perpendicular ao fio. A transferéncia de calor por radiação é considerada desprezivel, e as propriedades do aço inoxidável incluem uma condutividade térmica de
, suficiente para garantir que a temperatura ao longo do fio seja praticamente uniforme…
Diante desse cenário, qual é a temperatura da superficie externa do fio, considerando regime permanente e equilibrio entre a geração e a dissipação de calor?
Passo 1
O enunciado pede a temperatura da superfície externa do fio no regime permanente, assumindo equilíbrio entre geração e dissipação de calor. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado (vou listar tudo para não nos perder):
- Diâmetro do fio:
(vou usar em metros: ). - Comprimento do fio:
. - Potência elétrica dissipada (toda em calor):
. - Temperatura do ambiente (ar):
. - Velocidade do ar (escoamento perpendicular ao fio):
. - Transferência por radiação desprezível (ou seja, só consideramos convecção).
- Condutividade térmica do aço inox:
, suficiente para garantir temperatura praticamente uniforme ao longo do fio (isto justifica tratar a superfície do fio com uma única temperatura ).
A pergunta é: qual étal que, em regime permanente, a potência gerada seja evacuada pela convecção do ar?
Passo 2
Ideia geral e equação de balanço de energia (sem ainda calcular nada):
- Em regime permanente, energia gerada = energia removida por convecção. Como a radiação é desprezível,
onde:
-
é o coeficiente de transferência de calor por convecção (W/m ·°C), -
é a área externa do fio (m ), -
é a temperatura da superfície do fio (°C), -
é a temperatura do ar (°C). - Assim a temperatura buscada é
Logo precisamos calcular
e
. Vou explicar como obter
para fluxo transversal em um cilindro (fio).
Passo 3
Cálculo da área superficial do fio:
- Área lateral de um cilindro:
. - Substituindo:
(Arredondarei nas contas finais, mas guardo este valor para usar abaixo.)
Passo 4
Como determinar
(introdução aos conceitos físicos):
- Para convecção externa em fluxo perpendicular sobre um cilindro (fio fino), usa-se correlações de número de Nusselt médio
sobre o diâmetro . A relação é
onde
é a condutividade térmica do ar.
- O número de Nusselt médio
depende de (número de Reynolds) e (número de Prandtl). Vou usar a correlação prática e amplamente usada de Churchill e Bernstein (válida numa ampla faixa de e ):
- Agora precisamos das propriedades do ar à temperatura do problema. Vou tomar valores típicos à
(explicando que são propriedades padrão do ar seco e que as pequenas variações não mudam muito o resultado): - condutividade térmica:
, - viscosidade cinemática:
, - número de Prandtl:
.
(Se na prova der outras tabelas, usar aquelas; aqui uso estes valores correntes para ar a.)
- condutividade térmica:
Passo 5
Cálculo do número de Reynolds
:
- Definição:
. - Substituindo os números:
- Interpretação rápida:
, fluxo sobre o fio em regime laminar/turbulento na camada limite? Para cilindro essa ordem de é de escoamento de baixo para moderado — a correlação de Churchill-Bernstein é adequada aqui.
Passo 6
Cálculo do número de Nusselt médio
usando a correlação:
- Primeiro calculemos as partes da expressão. Vou mostrar os cálculos passo a passo.
-
-
- Produto:
- Denominador interno:
. Primeiro . Então . Assim . Tomando potência : - Dividindo:
- Fator corretor de altas/baixas
: . Primeiro . Elevação: . Então . Potência : - Multiplicando:
- Finalmente somamos o termo
:
-
Passo 7
Cálculo do coeficiente convectivo
:
- Fórmula:
. - Substituindo:
, , .
- Interpretação: este é um
relativamente alto (como esperado para fio fino com ar movendo-se rápido).
Passo 8
Agora volte ao balanço de energia e calcule
:
- A equação que já escrevemos:
- Substituindo
, , e : - Primeiro calcule
:
- Primeiro calcule
- Em seguida
- Logo
Passo 9
Discussão curta (para interpretar o resultado e como agir na prova):
- O valor final
indica que um fio fino dissipando sem radiação e apenas convecção por ar pode aquecer bastante — é plausível fisicamente. - Fontes de incerteza: propriedades do ar (use a tabela da prova se houver), correlação para
(use a que a prova indicar), e se a radiação realmente fosse desprezível a altas temperaturas isto pode subestimar a dissipação (a radiação aumenta com ). Se a prova der dados diferentes, substitua na mesma sequência de passos. - Método resumo para prova: 1) escrever balanço
, 2) obter , 3) calcular e , 4) usar correlação para , 5) , 6) resolver para .