Pretende-se testar em laboratório um modelo em escala reduzida da bomba da questão 3 com a mesma rotação do protótipo. Qual deve ser o fator de escala geométrico entre o modelo e a bomba real para que a vazão de teste seja de 1 litro/minuto? Qual deverá ser a diferença de pressões [Pa] entre saída e entrada do modelo durante o teste? O fluido de teste do modelo é a água e o desnível entre os manômetros de entrada e saída é desprezível. (2 ponto)
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o fator de escala geométrico entre o modelo e a bomba real (ou seja, a razão linear
) de modo que a vazão do modelo seja de litro/minuto. - Determinar a diferença de pressões (em Pa) entre saída e entrada do modelo durante o ensaio.
Informações dadas no enunciado:
- Vazão desejada do modelo:
litro/minuto. - O fluido do modelo é água.
- O ensaio mantém a mesma rotação do protótipo (mesma velocidade angular
). - O desnível entre manômetros de entrada e saída é desprezível (interpreto que não há contribuição gravitacional por diferença de nível entre manômetros).
Informações que o enunciado não fornece (e que são necessárias para um resultado numérico):
- Vazão do protótipo
(vazão real da bomba protótipo). - Diferença de pressão do protótipo
ou a altura manométrica (carga) do protótipo em metros. - (Opcional) Densidade do fluido no protótipo
caso seja diferente da água.
Observação: sem os valores do protótipo não é possível dar números finais. Abaixo eu mostro passo a passo as leis e fórmulas que permitem calcular numericamente assim que você fornecer
e
(ou
).
Passo 2
Conceito físico e a lei de semelhança (afinity laws) usada — explicação didática:
- Estamos tratando de máquinas geometricamente semelhantes (modelo = versão reduzida por um fator linear
) e operando na mesma rotação . Nessa situação existem leis de similaridade (as chamadas leis de afinidade) que relacionam vazão, carga (altura manométrica) e pressão entre protótipo e modelo. - Intuição: se todas as dimensões lineares do modelo são
vezes as do protótipo, volumes e vazões típicas escalam com (porque volume ∝ ). Energias por unidade de peso (carga em metros de fluido) escalam com velocidade ao quadrado; com fixo, velocidade característica ∝ , logo carga (altura) escala como .
As leis que vamos usar (para mesma rotação
):
onde
-
é a vazão volumétrica (m³/s), -
é a carga (altura manométrica) em metros.
Explicação das variáveis:
-
é o fator de escala linear que queremos achar. -
é dada: L/min (vou converter para SI abaixo). -
é a vazão real do protótipo (valor que falta no enunciado). -
é a carga do protótipo em metros (ou pode-se usar em Pa, ver passo seguinte).
Passo 3
Conversão de unidades (detalhe prático para você aplicar na prova):
- Converta
litro/minuto para m³/s, porque as leis usam unidades do SI:
Portanto,
Cálculo do fator de escala
:
- A partir de
, isolamos :
Isto significa: assim que você souber
(em m³/s), calcula essa razão e toma a raiz cúbica para obter a escala linear.
Passo 4
Como obter a diferença de pressão no modelo (explicação e fórmula):
- A relação entre carga
(em metros) e diferença de pressão (em Pa) é:
onde
-
é a densidade do fluido (kg/m³), -
é a aceleração da gravidade, . -
Como
, temos:
- Se o protótipo tiver a diferença de pressão conhecida
, então podemos eliminar e obter a forma direta:
Interpretações práticas:
- Se o protótipo e o modelo usam o mesmo fluido (por exemplo ambos água), então
e a fórmula simplifica para
- No seu caso o enunciado diz que o fluido de teste do modelo é água; mas não diz qual é o fluido do protótipo. Se o protótipo também usar água, usar a forma simplificada. Se usar outro fluido, use a forma com o fator de densidade.
Passo 5
Resumo do procedimento que você deve aplicar na prova (passo a passo operacional):
- Converta
para : já fizemos e obtemos - Pegue do enunciado (ou do dado da bomba protótipo) o valor de
em . - Calcule
- Se você tem
(em Pa), calcule
- Se o protótipo usa água também, então
e
- Use
e quando precisar converter entre (m) e (Pa).
Observação motivacional: falta só pegar os dois números do protótipo e aplicar essas fórmulas — é mecânico e rápido. Você consegue!