Pretende-se testar em laboratório um modelo em escala reduzida da bomba da questão 3 com a mesma rotação do protótipo. Qual deve ser o fator de escala geométrico entre o modelo e a bomba real para que a vazão de teste seja de 1 litro/minuto? Qual deverá ser a diferença de pressões [Pa] entre saída e entrada do modelo durante o teste? O fluido de teste do modelo é a água e o desnível entre os manômetros de entrada e saída é desprezível. (2 ponto)

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o fator de escala geométrico entre o modelo e a bomba real (ou seja, a razão linear \lambda = \dfrac{D_{\text{modelo}}}{D_{\text{protótipo}}}ó) de modo que a vazão do modelo seja de 1 litro/minuto.
  • Determinar a diferença de pressões (em Pa) entre saída e entrada do modelo durante o ensaio.
Informações dadas no enunciado:
  • Vazão desejada do modelo: 1 litro/minuto.
  • O fluido do modelo é água.
  • O ensaio mantém a mesma rotação do protótipo (mesma velocidade angular N).
  • O desnível entre manômetros de entrada e saída é desprezível (interpreto que não há contribuição gravitacional por diferença de nível entre manômetros).
Informações que o enunciado não fornece (e que são necessárias para um resultado numérico):
  • Vazão do protótipo Q_{\text{prot}} (vazão real da bomba protótipo).
  • Diferença de pressão do protótipo \Delta p_{\text{prot}} ou a altura manométrica (carga) do protótipo H_{\text{prot}} em metros.
  • (Opcional) Densidade do fluido no protótipo \rho_{\text{prot}} caso seja diferente da água.
Observação: sem os valores do protótipo não é possível dar números finais. Abaixo eu mostro passo a passo as leis e fórmulas que permitem calcular numericamente assim que você fornecer Q_{\text{prot}} e \Delta p_{\text{prot}} (ou H_{\text{prot}}).

Passo 2

Conceito físico e a lei de semelhança (afinity laws) usada — explicação didática:
  • Estamos tratando de máquinas geometricamente semelhantes (modelo = versão reduzida por um fator linear \lambda) e operando na mesma rotação N. Nessa situação existem leis de similaridade (as chamadas leis de afinidade) que relacionam vazão, carga (altura manométrica) e pressão entre protótipo e modelo.
  • Intuição: se todas as dimensões lineares do modelo são \lambda vezes as do protótipo, volumes e vazões típicas escalam com \lambda^3 (porque volume ∝ \,D^3). Energias por unidade de peso (carga em metros de fluido) escalam com velocidade ao quadrado; com N fixo, velocidade característica ∝ D, logo carga (altura) escala como \lambda^2.
As leis que vamos usar (para mesma rotação N):
Q_{\text{modelo}} = \lambda^{3}\;Q_{\text{prot}}
H_{\text{modelo}} = \lambda^{2}\;H_{\text{prot}}
onde
  • Q é a vazão volumétrica (m³/s),
  • H é a carga (altura manométrica) em metros.
Explicação das variáveis:
  • \lambda = \dfrac{D_{\text{modelo}}}{D_{\text{prot}}} é o fator de escala linear que queremos achar.
  • Q_{\text{modelo}} é dada: 1 L/min (vou converter para SI abaixo).
  • Q_{\text{prot}} é a vazão real do protótipo (valor que falta no enunciado).
  • H_{\text{prot}} é a carga do protótipo em metros (ou pode-se usar \Delta p_{\text{prot}} em Pa, ver passo seguinte).

Passo 3

Conversão de unidades (detalhe prático para você aplicar na prova):
  • Converta 1 litro/minuto para m³/s, porque as leis usam unidades do SI:
1\\ \text{L/min} = \dfrac{1}{1000}\\ \text{m}^3\\ /\\\ 60\\ \text{s} = \dfrac{1}{60000}\\ \text{m}^3/\text{s} = 1,6667\times 10^{-5}\\ \text{m}^3/\text{s}.
Portanto, \;Q_{\text{modelo}}=1,6667\times 10^{-5}\\ \text{m}^3/\text{s}.
Cálculo do fator de escala \lambda:
  • A partir de \;Q_{\text{modelo}} = \lambda^{3} Q_{\text{prot}}, isolamos \lambda:
\lambda = \left(\dfrac{Q_{\text{modelo}}}{Q_{\text{prot}}}\right)^{1/3}.
Isto significa: assim que você souber Q_{\text{prot}} (em m³/s), calcula essa razão e toma a raiz cúbica para obter a escala linear.

Passo 4

Como obter a diferença de pressão no modelo (explicação e fórmula):
  • A relação entre carga H (em metros) e diferença de pressão \Delta p (em Pa) é:
\Delta p = \rho\;g\;H,
onde
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m³),
  • g é a aceleração da gravidade, g\approx 9,81\\ \text{m/s}^2.
  • Como H_{\text{modelo}} = \lambda^{2} H_{\text{prot}}, temos:
\Delta p_{\text{modelo}} = \rho_{\text{modelo}}\;g\;H_{\text{modelo}} = \rho_{\text{modelo}}\;g\;\lambda^{2}\;H_{\text{prot}}.
  • Se o protótipo tiver a diferença de pressão conhecida \Delta p_{\text{prot}} = \rho_{\text{prot}}\;g\;H_{\text{prot}}, então podemos eliminar H_{\text{prot}} e obter a forma direta:
\Delta p_{\text{modelo}} = \Delta p_{\text{prot}}\;\dfrac{\rho_{\text{modelo}}}{\rho_{\text{prot}}}\;\lambda^{2}.
Interpretações práticas:
  • Se o protótipo e o modelo usam o mesmo fluido (por exemplo ambos água), então \rho_{\text{modelo}}=\rho_{\text{prot}} e a fórmula simplifica para
\Delta p_{\text{modelo}} = \Delta p_{\text{prot}}\;\lambda^{2}.
  • No seu caso o enunciado diz que o fluido de teste do modelo é água; mas não diz qual é o fluido do protótipo. Se o protótipo também usar água, usar a forma simplificada. Se usar outro fluido, use a forma com o fator de densidade.

Passo 5

Resumo do procedimento que você deve aplicar na prova (passo a passo operacional):
  1. Converta 1\\ \text{L/min} para \text{m}^3/\text{s}: já fizemos e obtemos \;Q_{\text{modelo}}=1,6667\times10^{-5}\\ \text{m}^3/\text{s}.
  2. Pegue do enunciado (ou do dado da bomba protótipo) o valor de Q_{\text{prot}} em \text{m}^3/\text{s}.
  3. Calcule
\lambda = \left(\dfrac{Q_{\text{modelo}}}{Q_{\text{prot}}}\right)^{1/3}.
  1. Se você tem \Delta p_{\text{prot}} (em Pa), calcule
\Delta p_{\text{modelo}} = \Delta p_{\text{prot}}\;\dfrac{\rho_{\text{modelo}}}{\rho_{\text{prot}}}\;\lambda^{2}.
  • Se o protótipo usa água também, então \rho_{\text{modelo}}/\rho_{\text{prot}}=1 e
\Delta p_{\text{modelo}} = \Delta p_{\text{prot}}\;\lambda^{2}.
  1. Use \rho_{\text{água}}=1000\\ \text{kg/m}^3á e g=9,81\\ \text{m/s}^2 quando precisar converter entre H (m) e \Delta p (Pa).
Observação motivacional: falta só pegar os dois números do protótipo e aplicar essas fórmulas — é mecânico e rápido. Você consegue!

Resposta

\displaystyle \lambda = \left(\dfrac{Q_{\text{modelo}}}{Q_{\text{prot}}}\right)^{1/3}, com Q_{\text{modelo}}=1\\ \text{L/min}=1,6667\times10^{-5}\\ \text{m}^3/\text{s}.\n \displaystyle \Delta p_{\text{modelo}}=\Delta p_{\text{prot}}\;\dfrac{\rho_{\text{modelo}}}{\rho_{\text{prot}}}\;\lambda^{2} (se o protótipo também usar água, \Delta p_{\text{modelo}}=\Delta p_{\text{prot}}\;\lambda^{2}).

Exercícios relacionados