Uma bomba centrífuga tem rotor que gira a 890 r.p.m. e transporta água entre dois reservatórios com desnível de 12 metros entre ambos. A tubulação é lisa, com diâmetro constante de 50 mm , trechos retos com comprimento total de 30 m e acessórios com comprimento equivalente total de 350 . O rotor da bomba tem diâmetro externo de 400 mm e, na saída do rotor, a espessura é 50 mm e o ângulo de pá é
(pás viradas para trás). No ponto de operação, a vazão é de 500 litros/minuto. Calcule a altura manométrica teórica desenvolvida pela bomba, a eficiência (rendimento) da mesma e a potência mecânica consumida do motor no ponto de operação. Considere a viscosidade absoluta da água igual a
. (3 pontos)
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Giro do rotor:
. - Desnível entre reservatórios:
. - Tubulação lisa, diâmetro constante:
. - Trechos retos com comprimento total:
. - Acessórios com comprimento equivalente total: está escrito apenas “350” sem unidade. Vou assumir (e explicitar) que significa
diâmetros (caso contrário a interpretação muda bastante). Assim, comprimento equivalente dos acessórios: Obs.: estou assumindo “350 diâmetros” porque é prática comum em problemas; se for outro significado (ex.: ) os resultados mudam. - Diâmetro externo do rotor:
. - Na saída do rotor a “espessura” (interpreto como largura/altura axial do canal de saída)
. - Ângulo de pá na saída:
(pás curvadas para trás). - Vazão no ponto de operação:
. - Viscosidade absoluta da água:
. - Densidade da água (valor padrão que usarei):
. - Aceleração da gravidade:
.
- Giro do rotor:
-
O que o enunciado pede:
- Calcular a altura manométrica teórica desenvolvida pela bomba (altura teórica de Euler).
- Calcular a eficiência (rendimento) da bomba no ponto de operação.
- Calcular a potência mecânica consumida pelo motor no ponto de operação.
Passo 2
Primeiro converto a vazão para unidades SI (metros cúbicos por segundo) e calculo a área da tubulação e a velocidade média no tubo.
- Vazão:
- Área da tubulação:
- Velocidade média na tubulação (com base na continuidade):
Passo 3
Calculo a velocidade periférica na borda do rotor (
). Primeiro converto a rotação para rad/s.
- Rotação em revoluções por segundo:
- Velocidade angular:
- Velocidade periférica na saída do rotor:
Passo 4
Calculo a componente meridional (radial) da velocidade na saída do rotor
usando continuidade no anel de saída do rotor (área aproximada
).
- Área aproximada do anel de saída do rotor:
- Componente meridional (radial) da velocidade na saída do rotor:
Observação didática: aqui assumimos que o escoamento no interior do anel do rotor é praticamente meridional (radial) com velocidade média
. Essa é uma aproximação padrão para aplicar o triângulo de velocidades na saída.
Passo 5
Usando o triângulo de velocidades na saída e o ângulo da pá
, encontro a componente tangencial da velocidade absoluta
. Para pás voltadas para trás vale a relação:
onde
é a componente tangencial da velocidade relativa. A relação do triângulo é
Com
.
- Logo:
Observação didática: aqui também assumi que não há pré-giro na entrada (isto é, a componente tangencial absoluta na entrada do rotor
é desprezível). Essa é outra hipótese comum em problemas de bomba quando não se dá informação sobre pré-giro.
Passo 6
Agora aplico a equação de Euler para turbomáquinas para obter a altura teórica
desenvolvida pela bomba:
Como assumimos
(sem pré-giro) e
não é relevante, fica:
- Calculando numericamente:
Interpretação: este é o salto de energia (altura) que a geometria do rotor, segundo Euler, pode fornecer sem levar em conta perdas hidráulicas.
Passo 7
Para obter a eficiência e a potência precisamos conhecer a perda de carga na tubulação (perdas por atrito + acessórios). Primeiro calculo o número de Reynolds e obtenho um fator de atrito adequado.
- Cinemática da água:
- Número de Reynolds na tubulação:
(ou seja, escoamento turbulent).
Passo 8
Estimativa do fator de atrito
. Como a tubulação é lisa (superfície suave) uso uma fórmula prática para escoamento turbulento em superfície lisa: fórmula de Kármán-Prandtl aproximada
o que dá
- Computando:
Observação didática: essa é uma aproximação prática que dá resultado compatível com as soluções implícitas (Colebrook) para tubos lisos em Re desta ordem.
Passo 9
Calculando o comprimento equivalente total
usado na fórmula de Darcy-Weisbach:
- Comprimento dos acessórios (assunção já citada):
- Comprimento equivalente total:
Passo 10
Calculo a perda de carga total por atrito usando Darcy-Weisbach:
- Primeiro computo
:
-
Razão
-
Portanto
Isto é a perda total de carga nas tubulações (retas + equivalentes de acessórios) para a vazão dada.
Passo 11
A altura manométrica requerida ao sistema (a altura que a bomba precisa vencer) é a soma do desnível mais as perdas por atrito:
Esta é a altura efetiva (manométrica) que a bomba entrega ao fluido no ponto de operação.
Passo 12
Calculo a eficiência (rendimento) da bomba no ponto de operação. Aqui uso a definição prática de eficiência hidráulica relativa à altura teórica de Euler:
- Substituindo:
Interpretação didática: essa eficiência representa fração da altura teórica que aparece efetivamente como altura manométrica disponível (as perdas internas reduzem a altura).
Passo 13
Calculo a potência hidráulica entregue ao fluido e a potência mecânica no eixo (potência consumida pelo motor no sentido mecânico, considerando as perdas internas como absorvidas no eixo).
- Potência hidráulica (potência útil entregue ao fluido):
- Potência mecânica consumida no eixo do motor (entrada mecânica na bomba): sabendo que a potência de entrada deve suprir a potência hidráulica mais as perdas internas, e que
representa a altura associada à potência ideal de Euler, tem-se:
ou alternativamente
- Calculando:
Observação: se fosse pedido consumo elétrico do motor seria necessário considerar eficiência do motor; aqui pediram “potência mecânica consumida do motor”, então reportei a potência mecânica no eixo necessária.