A procura mensal de um certo artigo é uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
a. Calcule a função de distribuição de X.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a função densidade de probabilidade $ f(x) $ de uma variável aleatória $ X $ e precisa encontrar a função de distribuição acumulada $ F(x) $. Basicamente, queremos saber a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $. Para isso, vamos integrar a função densidade $ f(x) $ desde o início do intervalo até o ponto $ x $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os intervalos onde $ f(x) $ está definida:
Para $ 0 \leq x \leq 2 $, $ f(x) = \frac{x}{4} $
Para $ 2 \leq x \leq 4 $, $ f(x) = 1 - \frac{x}{4} $
Fora desses intervalos, $ f(x) = 0 $
A função de distribuição acumulada $ F(x) $ é definida como:
f(x)
Passo 3
Vamos dividir em casos com base nos valores de $ x $:
Quando $ x < 0 $:
Nesse caso, como $ f(x) = 0 $ para $ x < 0 $, a probabilidade acumulada também é zero:
x
Quando $ 0 \leq x \leq 2 $:
Aqui, precisamos integrar $ f(t) = \frac{t}{4} $ de 0 até $ x $:
x < 0
Calculando a integral:
f(x) = 0
Quando $ 2 < x \leq 4 $:
Agora, $ f(t) $ muda de expressão em $ t = 2 $. Então, dividimos a integral em duas partes:
x < 0
Primeira integral:
F(x) = 0
Segunda integral:
0 <= x <= 2
Somando as duas partes:
f(t) = t4
Quando $ x > 4 $:
Para $ x $ maior que 4, toda a área sob $ f(x) $ foi acumulada, então:
x
Resposta
A função de distribuição acumulada $ F(x) $ de $ X $ é dada por: