O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma v.a. com f.d.p, assim definida:
f(x)= 6 x(1-x), & 0 <= x<1 0, & c c
b. Calcule P(X <= 12 lvert, 13

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de probabilidade que envolve uma variável aleatória contínua, chamada $ X $, que representa o diâmetro de um cabo elétrico. A função densidade de probabilidade (f.d.p) dessa variável é dada por:
X á
A pergunta é: qual a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $ dado que $ X $ está entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $? Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de probabilidade condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade condicional. A probabilidade condicional $ P(A | B) $ é a probabilidade do evento $ A $ ocorrer sabendo que o evento $ B $ já ocorreu. No nosso caso, queremos $ P\left(X \leq \frac{1}{2} \bigg| \frac{1}{3} < X < \frac{2}{3}\right) $.
A fórmula para probabilidade condicional é:
P(A | B)
Aplicando isso ao nosso caso:
A

Passo 3

Agora, vamos calcular $ P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{1}{2}\right) $. Para isso, precisamos integrar a função densidade de probabilidade $ f(x) $ entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{1}{2} $:
P(13 < X <= 12)

Passo 4

Vamos resolver a integral:
integral 6x(1 - x) , dx = 6 integral x - x^2 , dx = 6(x^22 - x^33) + C
Agora, aplicamos os limites de $ \frac{1}{3} $ a $ \frac{1}{2} $:
13
Calculando cada parte:
Para $ x = \frac{1}{2} $:
12
6[((12)^22 - (12)^33) - ((13)^22 - (13)^33)]
Para $ x = \frac{1}{3} $:
x = 12
(12)^22 = 142 = 18
Substituindo de volta:
(12)^33 = 183 = 124
Simplificando:
x = 13
Convertendo para denominadores comuns:
(13)^22 = 192 = 118
Então:
(13)^33 = 1273 = 181

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P\left(\frac{1}{3} < X < \frac{2}{3}\right) $. Novamente, integramos $ f(x) $ entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $:
P(13 < X < 23)
Usando a mesma antiderivada de antes:
f(x)
Calculando cada parte:
Para $ x = \frac{2}{3} $:
13
23
Para $ x = \frac{1}{3} $:
Já calculamos anteriormente:
P(13 < X < 23) = integral13^23 6x(1 - x) , dx
Substituindo de volta:
6[((23)^22 - (23)^33) - ((13)^22 - (13)^33)]
Simplificando:
x = 23

Passo 6

Agora que temos os dois valores, podemos calcular a probabilidade condicional:
P(X <= 12 g| 13 < X < 23) = 13541327 = 1354 times 2713 = 2754 = 12

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $ dado que $ X $ está entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $ é $ \frac{1}{2} $.

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