O diâmetro
de um cabo elétrico supõe-se ser uma v.a. com f.d.p, assim definida:
b. Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício de probabilidade que envolve uma variável aleatória contínua, chamada $ X $, que representa o diâmetro de um cabo elétrico. A função densidade de probabilidade (f.d.p) dessa variável é dada por:
A pergunta é: qual a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $ dado que $ X $ está entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $? Vamos resolver isso passo a passo usando conceitos de probabilidade condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa probabilidade condicional. A probabilidade condicional $ P(A | B) $ é a probabilidade do evento $ A $ ocorrer sabendo que o evento $ B $ já ocorreu. No nosso caso, queremos $ P\left(X \leq \frac{1}{2} \bigg| \frac{1}{3} < X < \frac{2}{3}\right) $.
A fórmula para probabilidade condicional é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular $ P\left(\frac{1}{3} < X \leq \frac{1}{2}\right) $. Para isso, precisamos integrar a função densidade de probabilidade $ f(x) $ entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{1}{2} $:
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Agora, aplicamos os limites de $ \frac{1}{3} $ a $ \frac{1}{2} $:
Calculando cada parte:
Para $ x = \frac{1}{2} $:
Para $ x = \frac{1}{3} $:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Convertendo para denominadores comuns:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P\left(\frac{1}{3} < X < \frac{2}{3}\right) $. Novamente, integramos $ f(x) $ entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $:
Usando a mesma antiderivada de antes:
Calculando cada parte:
Para $ x = \frac{2}{3} $:
Para $ x = \frac{1}{3} $:
Já calculamos anteriormente:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 6
Agora que temos os dois valores, podemos calcular a probabilidade condicional:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a $ \frac{1}{2} $ dado que $ X $ está entre $ \frac{1}{3} $ e $ \frac{2}{3} $ é $ \frac{1}{2} $.