O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma v.a. com f.d.p, assim definida:
f(x)= 6 x(1-x), & 0 <= x<1 0, & c c
a. Verifique tratar-se de um f.d.p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função que descreve a distribuição de probabilidade do diâmetro $ X $ de um cabo elétrico. A função de densidade de probabilidade (f.d.p) está definida como:
X á
Nosso objetivo aqui é verificar se essa função realmente é uma f.d.p. Para isso, precisamos lembrar que uma função é uma f.d.p se ela satisfaz duas condições principais:
  1. Não-negatividade: $ f(x) \geq 0 $ para todo $ x $.
  2. Integral igual a 1: A área total sob a curva de $ f(x) $ deve ser igual a 1.
Vamos verificar essas duas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se $ f(x) $ é sempre não negativa dentro do intervalo onde ela é definida. Olhando para a expressão $ 6x(1 - x) $:
  • $ x $ está entre 0 e 1, então $ x \geq 0 $.
  • $ 1 - x $ também está entre 0 e 1, pois se $ x $ é menor que 1, $ 1 - x $ é positivo.
Multiplicando os dois termos positivos por 6, a função $ f(x) $ será sempre positiva ou zero dentro do intervalo $ 0 \leqslant x < 1 $. Fora desse intervalo, $ f(x) = 0 $, que também é não negativo. Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a integral de $ f(x) $ de 0 a 1 é igual a 1. Isso garante que a “área total” sob a curva da f.d.p é 1, como deve ser.
Vamos calcular:
f(x)
Primeiro, expandimos a expressão dentro da integral:
integral0^1 6x(1 - x) , dx
Agora, integramos termo a termo:
6x(1 - x) = 6x - 6x^2
Calculando cada integral:
integral0^1 (6x - 6x^2) , dx = 6 integral0^1 x , dx - 6 integral0^1 x^2 , dx
A integral resultou em 1, então a segunda condição também está satisfeita.

Resposta

Sim, $ f(x) = 6x(1 - x) $ para $ 0 \leqslant x < 1 $ é uma função de densidade de probabilidade válida, pois satisfaz as duas condições necessárias: é não negativa em todo o seu domínio e a integral total é igual a 1.

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