A produção anual de um país é dada por
Q(K, L)=150[0,4 K^-12+0,6 L^-12]^-2
Unidades, em que K é o capital imobilizado em milhões de dólares e L é o volume de mão de obra em milhares de homens-horas.
c) Para que a produtividade aumente o mais depressa possível, o governo do país deve estimular o aumento do capital imobilizado ou da mão de obra?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de produção Q(K,L)=150l[0,4K^-1/2+0,6L^-1/2r]^-2 e pergunta qual insumo (capital ou trabalho) deve ser aumentado para que Q cresça mais rapidamente. O conteúdo principal aqui é o cálculo dos produtos marginais partial Q/partial K e partial Q/partial L e sua comparação.

Passo 2

Para achar o produto marginal em relação a K, definimos primeiro R=0,4K^-1/2+0,6L^-1/2. Assim Q=150R^-2. Temos
partial Qpartial K=150cdot(-2)R^-3cdotpartial Rpartial K
Como
partial Rpartial K=0,4cdotl(-tfrac12r)K^-3/2=-0,2K^-3/2,
segue
partial Qpartial K=150times(-2)times(-0,2),R^-3,K^-3/2=60,R^-3K^-3/2

Passo 3

Analogamente, para L:
partial Rpartial L=0,6cdotl(-tfrac12r)L^-3/2=-0,3L^-3/2,
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partial Qpartial L=150cdot(-2)cdot(-0,3),R^-3,L^-3/2=90,R^-3L^-3/2

Passo 4

Agora comparamos os produtos marginais. Como ambos têm o fator comum R^-3, comparamos
90L^-3/2e60K^-3/2
Isto é,
partial Q/partial Lpartial Q/partial K=90L^-3/260K^-3/2=1,5l(KLr)^3/2
Se este quociente for maior que 1, então partial Q/partial L>partial Q/partial K e faz mais sentido aumentar L; caso contrário, aumenta-se K.

Passo 5

Da desigualdade
1,5l(KLr)^3/2>1
vem
l(KLr)^3/2>23 Long<=ftrightarrow LK
Conclusão: se L/K<1,31, então partial Q/partial L>partial Q/partial K e o governo deve estimular a mão de obra. Caso contrário, deve estimular o capital.

Passo 6

Em resumo, o insumo cujo produto marginal for maior – isto é, trabalho quando L/K<(3/2)^2/3, ou capital caso contrário – é o que deve ser estimulado para aumentar Q mais depressa.

Resposta

O governo deve estimular o insumo (capital ou trabalho) cujo produto marginal seja maior. Especificamente, se L/K<(3/2)^2/3approx1,31, aumenta-se trabalho; caso contrário, estimula-se capital.

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