Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
e) f(x, y)=x^2 y e^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = x^{2} y e^{x} $, e a gente precisa calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem dela. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, mais especificamente das derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem produtos e exponenciais, além de entender o conceito de derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. É a derivada de uma função em relação a uma de suas variáveis, mantendo as outras constantes. Como queremos derivadas de segunda ordem, vamos precisar primeiro encontrar as primeiras derivadas parciais.
Vamos encontrar $ f_x $ e $ f_y $.

Passo 3

Calculando $ f_x $ (derivada de $ f $ em relação a $ x $):
Temos $ f(x, y) = x^{2} y e^{x} $.
Usamos a regra do produto: se $ f = u \cdot v $, então $ f’ = u’ \cdot v + u \cdot v’ $.
Aqui, $ u = x^{2} y $ e $ v = e^{x} $.
Derivando $ u $ em relação a $ x $: $ u’ = 2x y $.
Derivando $ v $ em relação a $ x $: $ v’ = e^{x} $.
Então,
fx

Passo 4

Agora, calculando $ f_y $ (derivada de $ f $ em relação a $ y $):
Aqui, $ f(x, y) = x^{2} y e^{x} $.
Como $ x^{2} e^{x} $ são constantes em relação a $ y $, derivamos apenas $ y $:
fy

Passo 5

Agora que temos as primeiras derivadas, vamos calcular as derivadas de segunda ordem.
  1. $ f_{xx} $: derivada de $ f_x $ em relação a $ x $.
fxx
Aplicamos a regra do produto novamente:
fx
Simplificando:
x
  1. $ f_{xy} $: derivada de $ f_x $ em relação a $ y $.
fx = y e^x (2x + x^2) = y (2x + x^2) e^x
Derivando em relação a $ y $:
fxx = y [ ddx(2x + x^2) cdot e^x + (2x + x^2) cdot e^x ] = y [ (2 + 2x) e^x + (2x + x^2) e^x ]
  1. $ f_{yx} $: derivada de $ f_y $ em relação a $ x $.
fxx = y e^x (2 + 2x + 2x + x^2) = y e^x (2 + 4x + x^2)
Aplicando a regra do produto:
fxy
  1. $ f_{yy} $: derivada de $ f_y $ em relação a $ y $.
fx
Aqui, $ x^{2} e^{x} $ não depende de $ y $, então:
y

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) = x^{2} y e^{x} $ são:
f(x, y) = x^2 y e^x
fxx = y e^x (2 + 4x + x^2)
fxy = fyx = e^x (2x + x^2)

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