Mostre que a função é diferenciável
a) f(x, y)=7 x^5-5 x y+3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x,y)=7x^{5}−5xy+3 é diferenciável. Vamos usar o conteúdo de definição de diferenciabilidade de funções de duas variáveis e a propriedade de que, se as derivadas parciais existem e são contínuas num ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 2

Primeiro vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x. Lembrando que a derivada parcial em relação a x trata y como constante. Temos: ∂f/∂x = ∂/∂x (7x^{5}) − ∂/∂x (5xy) + ∂/∂x (3).
Calculando cada termo: A derivada de 7x^{5} em relação a x é 35x^{4}. A derivada de 5xy em relação a x é 5y (pois y é constante). E a derivada de 3 é zero. Logo: ∂f/∂x = 35x^{4} − 5y.

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Aqui x é tratado como constante. Temos: ∂f/∂y = ∂/∂y (7x^{5}) − ∂/∂y (5xy) + ∂/∂y (3).
Calculando cada termo: A derivada de 7x^{5} em relação a y é zero (não depende de y). A derivada de 5xy em relação a y é 5x. E a derivada de 3 é zero. Logo: ∂f/∂y = −5x.

Passo 4

Como ∂f/∂x = 35x^{4} − 5y e ∂f/∂y = −5x são polinômios em (x,y), eles são funções contínuas em todo o plano ℝ^{2}.
Pela teoria de diferenciabilidade, se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas num ponto (aqui vale para todo (x,y)∈ℝ^{2}), então a função é diferenciável nesse ponto. Portanto f é diferenciável em ℝ^{2}.

Resposta

A função f(x,y)=7x^{5}−5xy+3 é diferenciável em todo ℝ^{2} pois suas derivadas parciais existem e são contínuas.

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