A produção de certa máquina distribui-se normalmente com média 30,06 \mathrm{~mm} \mathrm{e} desvio-padrão 0,1 \mathrm{~mm} para uma dimensão crítica. As peças fora do intervalo 30,00 \pm 0,20 \mathrm{~mm} são consideradas defeituosas. Qual a percentagem de peças defeituosas na produção diária?

Passo 1

O enunciado diz que a dimensão crítica X das peças segue uma distribuição normal com média \mu=30,06 mm e desvio-padrão \sigma=0,1 mm. Consideram-se defeituosas as peças cuja dimensão sai do intervalo\r \;30,00\pm0,20 mm, ou seja, fora de [29,80;30,20]. Precisamos calcular\r
P(X<29,80)+P(X>30,20).

Passo 2

Para usar a tabela da normal padrão, definimos\r
\;Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1).\r
Então as fronteiras se tornam\r
\;z_1=\frac{29,80-30,06}{0,1}=-2,6,\qquad\r z_2=\frac{30,20-30,06}{0,1}=1,4.

Passo 3

Usando a tabela de Z ou software temos\r
\Phi(1,4)=0,9192\quad\Longrightarrow\quad P(Z>1,4)=1-0,9192=0,0808,
\Phi(-2,6)=1-\Phi(2,6)=1-0,9953=0,0047.

Passo 4

Somando as duas caudas dá\r
\;P(X<29,80)+P(X>30,20)=0,0047+0,0808=0,0855.\r
Em termos percentuais, isso equivale a 8,55\%.

Resposta

A percentagem de peças defeituosas é aproximadamente 8,55\%.

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