Na produção de certo tipo de arruela de borracha sintética, o diâmetro interno apresenta distribuição normal com média 50,1 \mathrm{~mm} e desvio-padrão 0,25 \mathrm{~mm}. A sua utilização torna-se possível se o diâmetro interno não for menor que 49,6 \mathrm{~mm}, nem maior que 50,8 \mathrm{~mm}. Determinar a percentagem de arruelas perfeitas.

Passo 1

O enunciado diz que o diâmetro interno X segue uma distribuição normal com média \mu = 50{,}1\text{ mm} e desvio-padrão \sigma = 0{,}25\text{ mm}. As arruelas são aceitas se
49{,}6 \le X \le 50{,}8.
Para encontrar a percentagem de arruelas perfeitas, precisamos calcular
P(49{,}6 \le X \le 50{,}8)
usando a padronização para a variável Z da normal padrão.

Passo 2

Padronizamos os limites. Para x=49{,}6:
z_1 = \frac{49{,}6 - 50{,}1}{0{,}25} = \frac{-0{,}5}{0{,}25} = -2.
Para x=50{,}8:
z_2 = \frac{50{,}8 - 50{,}1}{0{,}25} = \frac{0{,}7}{0{,}25} = 2{,}8.

Passo 3

O enunciado pede
P(-2 \le Z \le 2{,}8) = \Phi(2{,}8) - \Phi(-2),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 4

Consultando a tabela da normal padrão: \Phi(2,8)\approx0,9974 e \Phi(-2)=1-\Phi(2)\approx1-0,97725=0,02275.
Logo,
P(-2 \le Z \le 2{,}8) \approx 0,9974 - 0,0228 = 0,9746.

Resposta

A percentagem de arruelas perfeitas é aproximadamente 97{,}46\%.

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