A produção de uma fábrica varia a uma taxa dada por
unidades por hora em que
é o número de horas após o início do turno da manhã, às 8 horas. Quantas unidades são produzidas entre as 10 e as 12 horas?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com um problema de Cálculo, especificamente sobre taxas de variação e integrais. Precisamos descobrir quantas unidades são produzidas entre as 10 e as 12 horas, dado que a taxa de produção varia com o tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que cada variável representa:
- $ t $ é o número de horas após o início do turno da manhã, que começa às 8 horas.
- Queremos saber a produção entre as 10 e as 12 horas, então precisamos determinar os valores de $ t $ correspondentes a esses horários.
Às 10 horas:
Às 12 horas:
Passo 3
A taxa de produção é dada por $ Q^{\prime}(t) = 2t^{3} - 3t^{2} + 10t + 3 $ unidades por hora. Para encontrar o número total de unidades produzidas entre $ t = 2 $ e $ t = 4 $, precisamos calcular a integral definida de $ Q^{\prime}(t) $ nesse intervalo.
Passo 4
Vamos calcular a integral de $ Q^{\prime}(t) $:
Primeiro, encontramos a antiderivada de cada termo:
- $ \int 2t^{3} , dt = \frac{2}{4}t^{4} = \frac{1}{2}t^{4} $
- $ \int -3t^{2} , dt = -\frac{3}{3}t^{3} = -t^{3} $
- $ \int 10t , dt = \frac{10}{2}t^{2} = 5t^{2} $
- $ \int 3 , dt = 3t $
Então, a antiderivada completa é:
Passo 5
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 2 a 4 e subtraímos:
Calculando cada parte:
Para $ t = 4 $:
Para $ t = 4 $:
Para $ t = 2 $:
Subtraindo:
Resposta
Entre as 10 e as 12 horas, são produzidas 130 unidades.