A produção de uma fábrica varia a uma taxa dada por Q^prime(t)=2 t^3-3 t^2+10 t+3 unidades por hora em que t é o número de horas após o início do turno da manhã, às 8 horas. Quantas unidades são produzidas entre as 10 e as 12 horas?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos lidando com um problema de Cálculo, especificamente sobre taxas de variação e integrais. Precisamos descobrir quantas unidades são produzidas entre as 10 e as 12 horas, dado que a taxa de produção varia com o tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que cada variável representa:
  • $ t $ é o número de horas após o início do turno da manhã, que começa às 8 horas.
  • Queremos saber a produção entre as 10 e as 12 horas, então precisamos determinar os valores de $ t $ correspondentes a esses horários.
Às 10 horas:
t
Às 12 horas:
t

Passo 3

A taxa de produção é dada por $ Q^{\prime}(t) = 2t^{3} - 3t^{2} + 10t + 3 $ unidades por hora. Para encontrar o número total de unidades produzidas entre $ t = 2 $ e $ t = 4 $, precisamos calcular a integral definida de $ Q^{\prime}(t) $ nesse intervalo.

Passo 4

Vamos calcular a integral de $ Q^{\prime}(t) $:
Q^prime(t)
Primeiro, encontramos a antiderivada de cada termo:
  • $ \int 2t^{3} , dt = \frac{2}{4}t^{4} = \frac{1}{2}t^{4} $
  • $ \int -3t^{2} , dt = -\frac{3}{3}t^{3} = -t^{3} $
  • $ \int 10t , dt = \frac{10}{2}t^{2} = 5t^{2} $
  • $ \int 3 , dt = 3t $
Então, a antiderivada completa é:
integral2^4 (2t^3 - 3t^2 + 10t + 3) , dt

Passo 5

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de 2 a 4 e subtraímos:
( 12(4)^4 - (4)^3 + 5(4)^2 + 3(4) ) - ( 12(2)^4 - (2)^3 + 5(2)^2 + 3(2) )
Calculando cada parte:
Para $ t = 4 $:
t = 4
Para $ t = 2 $:
12(256) - 64 + 80 + 12 = 128 - 64 + 80 + 12 = 156
Subtraindo:
t = 2

Resposta

Entre as 10 e as 12 horas, são produzidas 130 unidades.

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