Na produção de hélio a partir de gás natural, o hélio é progressivamente separado do metano por uma membrana de
de espessura a
e 1 atm de pressão. A composição molar do gás de um lado da membrana é de 65% de metano e do outro lado é de 50% de metano. Estime os fluxos de metano e de hélio através da membrana, se o coeficiente de difusão for igual a
. Se a temperatura for alterada para
, qual seria a influência nos fluxos? E se a pressão for alterada para 50 atm ?
Passo 1
O enunciado pede que estimemos os fluxos molares de metano e de hélio através de uma membrana plana, e depois que avaliemos a influência de (a) aumento da temperatura para
e (b) aumento da pressão para
atm.
Dados fornecidos (todos dados são do enunciado salvo onde especificado):
Dados fornecidos (todos dados são do enunciado salvo onde especificado):
- Espessura da membrana:
. - Temperatura inicial:
. - Pressão inicial:
. - Composição molar em um lado: metano
, hélio . - Composição molar no outro lado: metano
, hélio . - Coeficiente de difusão (dado):
.
Perguntas explícitas:
- Estimar os fluxos molares de metano e de hélio através da membrana nas condições iniciais.
- Qual a influência se
for aumentada para ? - Qual a influência se
for aumentada para atm?
Passo 2
Modelagem e fórmulas úteis (explicadas de forma direta):
- Vamos tratar a transferência como difusão molecular estacionária através da membrana, sem fluxo convectivo neto. Nesse caso, a lei de Fick unidimensional dá para o fluxo molar de uma espécie
:
onde
é o fluxo molar de
(em
),
é o coeficiente de difusão efetivo (em
),
é a diferença de concentração molar da espécie
entre os dois lados, e
é a espessura. O sinal indica direção; aqui usarei a magnitude e informarei a direção.
- Para converter fração molar
em concentração molar (mol/m³) usamos a lei dos gases ideais:
onde
.
- Como temos um gás binário (metano + hélio) e as frações mudam entre lados,
. - Dependência de
com e (aproximação prática para gases): para difusão molecular em gases diluídos, uma boa aproximação é
Assim, se soubermos
numa condição
, podemos estimar em outra
por
Explico:
vem da dependência da velocidade molecular média;
vem do aumento de colisões (mais pressão → menor difusividade).
- Observação sobre direção: metano fluirá do lado com
para o lado com ; hélio no sentido contrário.
Passo 3
Cálculo dos fluxos nas condições iniciais (
,
,
) — passo a passo numérico:
- Concentração total do gás pelo gás ideal:
- Diferença de fração molar do metano entre os lados:
. Logo
- Aplicando Fick (tomando a magnitude do fluxo, direção: do lado
para o ):
- Para o hélio,
(ou seja,
é maior no segundo lado), portanto também, e
Direção: hélio flui do lado
(onde sua fração é maior) para o lado
. Note que os módulos são iguais e de sinais opostos, como esperado para difusão binária sem fluxo convectivo (conservação molar).
Passo 4
Efeito de elevar a temperatura para
(mantendo
atm):
- Estimativa do novo coeficiente
usando a regra (pressão constante):
Calcule a razão:
. Logo
- Concentração total a
:
- Nova diferença de concentração de metano:
- Novo fluxo:
Comparação: o fluxo aumentou de
para
, um aumento de cerca de
. Interpretação física: aumentar
aumenta a difusividade (favorável ao aumento do fluxo) mas reduz a densidade total (reduz o gradiente absoluto de concentração); no caso numérico, o aumento de
ganha da redução de
, resultando em aumento do fluxo.
Passo 5
Efeito de aumentar a pressão para
atm (mantendo
):
- Para gases ideais,
. Se , então . - A dependência aproximada de
com pressão é . Assim, ao passar para atm,
- A diferença de concentração absoluta
escala com , ou seja . Logo o produto aproximadamente se conserva porque e . Matematicamente:
- Se calcular numericamente:
Conclusão: o fluxo praticamente não muda ao elevar a pressão para
atm (na aproximação usada), porque a queda de
é compensada pelo aumento proporcional do gradiente de concentração.
Resposta
Fluxos à
e
atm:
(do lado
para o lado
);
(no sentido oposto).
A
(1 atm):
(aumento de
em relação à condição inicial).
A
atm (a
):
(praticamente inalterado pela compensação
e
).