Na produção de hélio a partir de gás natural, o hélio é progressivamente separado do metano por uma membrana de 6,0 \mathrm{~mm} de espessura a 30^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm de pressão. A composição molar do gás de um lado da membrana é de 65% de metano e do outro lado é de 50% de metano. Estime os fluxos de metano e de hélio através da membrana, se o coeficiente de difusão for igual a 6,8 \cdot 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}. Se a temperatura for alterada para 130^{\circ} \mathrm{C}, qual seria a influência nos fluxos? E se a pressão for alterada para 50 atm ?

Passo 1

O enunciado pede que estimemos os fluxos molares de metano e de hélio através de uma membrana plana, e depois que avaliemos a influência de (a) aumento da temperatura para 130^\circ\mathrm{C} e (b) aumento da pressão para 50 atm.
Dados fornecidos (todos dados são do enunciado salvo onde especificado):
  • Espessura da membrana: L=6{,}0\\ \mathrm{mm}=6{,}0\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura inicial: T_1=30^\circ\mathrm{C}=303{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão inicial: P_1=1\\ \mathrm{atm}=1{,}01325\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}.
  • Composição molar em um lado: metano =65\%, hélio =35\%.
  • Composição molar no outro lado: metano =50\%, hélio =50\%.
  • Coeficiente de difusão (dado): D_1=6{,}8\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
    Perguntas explícitas:
  1. Estimar os fluxos molares de metano e de hélio através da membrana nas condições iniciais.
  2. Qual a influência se T for aumentada para 130^\circ\mathrm{C}?
  3. Qual a influência se P for aumentada para 50 atm?

Passo 2

Modelagem e fórmulas úteis (explicadas de forma direta):
  • Vamos tratar a transferência como difusão molecular estacionária através da membrana, sem fluxo convectivo neto. Nesse caso, a lei de Fick unidimensional dá para o fluxo molar de uma espécie i:
J_i = -D\,\frac{\Delta C_i}{L}
onde J_i é o fluxo molar de i (em \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}), D é o coeficiente de difusão efetivo (em \mathrm{m^2/s}), \Delta C_i = C_{i,\text{lado A}}-C_{i,\text{lado B}} é a diferença de concentração molar da espécie i entre os dois lados, e L é a espessura. O sinal indica direção; aqui usarei a magnitude e informarei a direção.
  • Para converter fração molar y_i em concentração molar C_i (mol/m³) usamos a lei dos gases ideais:
C_i = y_i\,C_\text{tot},\qquad C_\text{tot}=\frac{P}{R\,T}
onde R=8{,}3145\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Como temos um gás binário (metano + hélio) e as frações mudam entre lados, \Delta C_i = (y_{i,1}-y_{i,2})C_\text{tot}.
  • Dependência de D com T e P (aproximação prática para gases): para difusão molecular em gases diluídos, uma boa aproximação é
D\propto\frac{T^{3/2}}{P}.
Assim, se soubermos D numa condição (T_0,P_0), podemos estimar em outra (T,P) por
D(T,P)\approx D(T_0,P_0)\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2}\frac{P_0}{P}.
Explico: T^{3/2} vem da dependência da velocidade molecular média; 1/P vem do aumento de colisões (mais pressão → menor difusividade).
  • Observação sobre direção: metano fluirá do lado com 65\% para o lado com 50\%; hélio no sentido contrário.

Passo 3

Cálculo dos fluxos nas condições iniciais ( T_1=303{,}15\\ \mathrm{K}, P_1=1{,}01325\cdot10^{5}\\ \mathrm{Pa}, D_1=6{,}8\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}) — passo a passo numérico:
  1. Concentração total do gás pelo gás ideal:
C_\text{tot,1}=\frac{P_1}{R\,T_1}=\frac{1{,}01325\cdot10^{5}}{8{,}3145\cdot303{,}15}\approx 40{,}18\\ \mathrm{mol\,m^{-3}}.
  1. Diferença de fração molar do metano entre os lados: \Delta y_{\mathrm{CH_4}}=0{,}65-0{,}50=0{,}15. Logo
\Delta C_{\mathrm{CH_4}}=\Delta y_{\mathrm{CH_4}}\,C_\text{tot,1}=0{,}15\cdot40{,}18\approx 6{,}03\\ \mathrm{mol\,m^{-3}}.
  1. Aplicando Fick (tomando a magnitude do fluxo, direção: do lado 65\% para o 50\%):
J_{\mathrm{CH_4}}=D_1\frac{\Delta C_{\mathrm{CH_4}}}{L} =6{,}8\cdot10^{-5}\cdot\frac{6{,}03}{6{,}0\cdot10^{-3}} \approx 6{,}83\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}.
  1. Para o hélio, \Delta y_{\mathrm{He}}=0{,}35-0{,}50}=-0{,}15 (ou seja, y_{\mathrm{He}} é maior no segundo lado), portanto |\Delta C_{\mathrm{He}}|=6{,}03\\ \mathrm{mol\,m^{-3}} também, e
J_{\mathrm{He}}=6{,}8\cdot10^{-5}\cdot\frac{6{,}03}{6{,}0\cdot10^{-3}} \approx 6{,}83\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}.
Direção: hélio flui do lado 50\% (onde sua fração é maior) para o lado 35\%. Note que os módulos são iguais e de sinais opostos, como esperado para difusão binária sem fluxo convectivo (conservação molar).

Passo 4

Efeito de elevar a temperatura para 130^\circ\mathrm{C}=403{,}15\\ \mathrm{K} (mantendo P=1 atm):
  1. Estimativa do novo coeficiente D usando a regra D\propto T^{3/2} (pressão constante):
D_2 \approx D_1\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{3/2} =6{,}8\cdot10^{-5}\left(\frac{403{,}15}{303{,}15}\right)^{3/2}.
Calcule a razão: \left(\dfrac{403{,}15}{303{,}15}\right)^{3/2}\approx 1{,}5327. Logo
D_2\approx 6{,}8\cdot10^{-5}\cdot1{,}5327\approx 1{,}04\cdot10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  1. Concentração total a T_2:
C_{\text{tot},2}=\frac{P}{R\,T_2}=\frac{1{,}01325\cdot10^{5}}{8{,}3145\cdot403{,}15}\approx 30{,}24\\ \mathrm{mol\,m^{-3}}.
  1. Nova diferença de concentração de metano:
\Delta C_{\mathrm{CH_4},2}=0{,}15\cdot C_{\text{tot},2}=0{,}15\cdot30{,}24\approx 4{,}536\\ \mathrm{mol\,m^{-3}}.
  1. Novo fluxo:
J_{\mathrm{CH_4},2}=D_2\frac{\Delta C_{\mathrm{CH_4},2}}{L} \approx 1{,}04\cdot10^{-4}\cdot\frac{4{,}536}{6{,}0\cdot10^{-3}} \approx 7{,}88\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}.
Comparação: o fluxo aumentou de 6{,}83\cdot10^{-2} para 7{,}88\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}, um aumento de cerca de +15{,}4\%. Interpretação física: aumentar T aumenta a difusividade (favorável ao aumento do fluxo) mas reduz a densidade total (reduz o gradiente absoluto de concentração); no caso numérico, o aumento de D ganha da redução de C_\text{tot}, resultando em aumento do fluxo.

Passo 5

Efeito de aumentar a pressão para 50 atm (mantendo T=30^\circ\mathrm{C}):
  1. Para gases ideais, C_\text{tot}\propto P. Se P_2=50\,P_1, então C_{\text{tot},P2}=50\cdot C_{\text{tot},1}.
  2. A dependência aproximada de D com pressão é D\propto 1/P. Assim, ao passar para 50 atm,
D_{P2}\approx D_1\frac{P_1}{P_2}=D_1\frac{1}{50}.
  1. A diferença de concentração absoluta \Delta C_i escala com C_\text{tot}, ou seja \Delta C_i\propto P. Logo o produto D\cdot\Delta C_i aproximadamente se conserva porque D\propto 1/P e \Delta C_i\propto P. Matematicamente:
J_i \propto \frac{D}{L}\Delta C_i \propto \frac{1/P}{L}\cdot(P)\\ \Rightarrow\\ \text{invariante (aprox.)}.
  1. Se calcular numericamente:
D_{P2}= \frac{6{,}8\cdot10^{-5}}{50}=1{,}36\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s},
\Delta C_{\mathrm{CH_4},P2}=0{,}15\cdot 50\cdot40{,}18\approx 301{,}36\\ \mathrm{mol\,m^{-3}},
J_{\mathrm{CH_4},P2}=D_{P2}\frac{\Delta C_{\mathrm{CH_4},P2}}{L} \approx 1{,}36\cdot10^{-6}\cdot\frac{301{,}36}{6{,}0\cdot10^{-3}} \approx 6{,}83\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}}.
Conclusão: o fluxo praticamente não muda ao elevar a pressão para 50 atm (na aproximação usada), porque a queda de D é compensada pelo aumento proporcional do gradiente de concentração.

Resposta

Fluxos à 30^\circ\mathrm{C} e 1 atm: J_{\mathrm{CH_4}}=6{,}83\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}} (do lado 65\% para o lado 50\%); J_{\mathrm{He}}=6{,}83\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}} (no sentido oposto).
A 130^\circ\mathrm{C} (1 atm): J_{\mathrm{CH_4}}\approx 7{,}88\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}} (aumento de \approx 15{,}4\% em relação à condição inicial).
A 50 atm (a 30^\circ\mathrm{C}): J_{\mathrm{CH_4}}\approx 6{,}83\cdot10^{-2}\\ \mathrm{mol\,m^{-2}\,s^{-1}} (praticamente inalterado pela compensação D\propto1/P e \Delta C\propto P).

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