Na produção de poliestireno, por cada 1 litro de solução em benzeno, a temperatura de 60^{\circ} \mathrm{C}, se produz 6.9 g de polímero cada duas horas com um peso molecular de 3 \times 10^{5} Dalton.
Calcule as [M] e [I] que precisa ter, sabendo que a terminação acontece inteiramente por desproporção, que as transferências são pouco significativas e os valores das constantes de velocidade são:
\mathrm{kp}^{2} / \mathrm{kt}=9.49 \times 10^{-4}(\mathrm{~L} / \mathrm{mol} \mathrm{s}) ; \mathrm{fkd}=2.05 \times 10^{-6} \mathrm{~s}^{-1}

Passo 1

O enunciado trata da polimerização livre de estireno em benzeno a 60^\circ\mathrm{C}. Em 1 L de solução obtêm-se 6{,}9 g de poliestireno em 2 h, com peso molecular médio \overline M_n=3\times10^5 g/mol. Queremos determinar as concentrações de monômero [\mathrm{M}] e de iniciador [\mathrm{I}], sabendo que a terminação é por desproporção (transferências desprezíveis) e que
\frac{k_p^2}{k_t}=9{,}49\times10^{-4}\,\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{mol}\,\mathrm{s}}, \qquad f\,k_d=2{,}05\times10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 2

Calculamos a velocidade de polimerização em mol· L^{-} ^{1}\cdot s^{-}¹ a partir da massa formada:
a massa por segundo é
\frac{6{,}9\;\mathrm{g}}{2\,\mathrm{h}} = \frac{6{,}9}{7200}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}} =9{,}58\times10^{-4}\;\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{s}}.
Convertendo em mol de monômero (massa molar M_0\approx104 g/mol) por litro:
R_p =\frac{9{,}58\times10^{-4}\,\mathrm{g/s}}{104\,\mathrm{g/mol}} =9{,}22\times10^{-6}\;\mathrm{mol\;L^{-1}\;s^{-1}}.

Passo 3

Na polimerização livre com terminação por desproporção, o grau de polimerização em número é
X_n =\frac{k_p\,[\mathrm{M}]}{\sqrt{k_t\,f\,k_d\,[\mathrm{I}]}}\,.
Como
X_n=\frac{\overline M_n}{M_0} =\frac{3\times10^5}{104}\approx2885,
temos a relação cinética entre [\mathrm{M}] e [\mathrm{I}].

Passo 4

Elevando ao quadrado a expressão de X_n e isolando f\,k_d\,[\mathrm{I}]:
X_n^2 =\frac{k_p^2\,[\mathrm{M}]^2}{k_t\,f\,k_d\,[\mathrm{I}]} \quad\Longrightarrow\quad f\,k_d\,[\mathrm{I}] =\frac{k_p^2\,[\mathrm{M}]^2}{k_t\,X_n^2}.
Como k_p^2/k_t=9{,}49\times10^{-4} e f\,k_d=2{,}05\times10^{-6}, segue
[\mathrm{I}] =\frac{\displaystyle\frac{k_p^2}{k_t}\,[\mathrm{M}]^2}{f\,k_d\,X_n^2} =\frac{9{,}49\times10^{-4}\,[\mathrm{M}]^2}{2{,}05\times10^{-6}\times(2885)^2} \approx5{,}56\times10^{-5}\,[\mathrm{M}]^2.

Passo 5

A velocidade de polimerização pode ser escrita como
R_p =k_p\,[\mathrm{M}]\sqrt{\frac{f\,k_d\,[\mathrm{I}]}{k_t}} =\frac{k_p^2}{k_t}\,\frac{[\mathrm{M}]^2}{X_n}
(o último passo resulta de substituir a relação de X_n). Logo,
9{,}22\times10^{-6} =\frac{9{,}49\times10^{-4}\,[\mathrm{M}]^2}{2885} \quad\Longrightarrow\quad [\mathrm{M}]^2 =\frac{9{,}22\times10^{-6}\times2885}{9{,}49\times10^{-4}} \approx28{,}07
\Longrightarrow [\mathrm{M}] \approx\sqrt{28{,}07} \approx5{,}30\;\mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 6

Finalmente, usa-se a relação de [\mathrm{I}] em função de [\mathrm{M}]:
[\mathrm{I}] \approx5{,}56\times10^{-5}\times(5{,}30)^2 \approx1{,}56\times10^{-3}\;\mathrm{mol\;L^{-1}}.

Resposta

[\mathrm{M}]\approx5{,}30\;\mathrm{mol\;L^{-1}},\quad[\mathrm{I}]\approx1{,}56\times10^{-3}\;\mathrm{mol\;L^{-1}}.

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