1. Na produção de vinhos, uma das etapas é a fermentação, que pode ser feita em tanques de aço ou madeira. Vinhos feitos em tanque de aço têm sabor mais frutado; quando a fermentação é feita em madeira, o vinho ganha sabores amadeirados. Cada detalhe da fermentação é importante, pois dela depende a qualidade do vinho. Por isso, temperatura, oxigenação, contato com o ar e outros fatores devem ser bem analisados. Um produtor de vinho do Piauí possui, por exemplo, três barris de vinho com 180, 240 e 288 litros de vinho de qualidade diferente. O produtor deseja acondicioná-los em tambores de madeira de capacidade igual. O volume do tambor é expresso em números inteiros de litros, e vinhos de qualidade diferente não devem ser misturados. Qual então, é a menor quantidade de tambores de madeira que será usada para que o vinho não seja desperdiçado?
    a) 59 .
    b) 63 .
    c) 77 .
    d) 89 .
    e) 90 .

Passo 1

O enunciado nos dá três volumes de vinho, cada um com qualidade diferente, e pede quantos tambores idênticos (mesma capacidade inteira, sem misturar vinhos) são necessários para acondicionar todo o vinho sem desperdício, minimizando o número de tambores. Os dados relevantes são:
  • Volume do barril 1: \,180 litros.
  • Volume do barril 2: \,240 litros.
  • Volume do barril 3: \,288 litros.
O que se pede explicitamente: qual é a menor quantidade total de tambores de madeira (cada tambor com mesma capacidade inteira de litros) que serão usados, sabendo que vinhos diferentes não podem ser misturados e não pode haver sobras.

Passo 2

Entendimento das condições e ideia do método (explicado passo a passo, sem pressupor conhecimento prévio).
  • Se cada tambor tem capacidade inteira \,c litros, e não pode haver sobras nem mistura, então \,c deve dividir exatamente cada um dos volumes. Ou seja, \,c precisa ser um divisor comum de \,180,\;240,\;288.
  • O número de tambores usado para um barril de volume \,V é \,V/c. Logo o número total de tambores é
\frac{180}{c}+\frac{240}{c}+\frac{288}{c}=\frac{180+240+288}{c}.
  • Para minimizar esse total, devemos escolher \,c o mais grande possível entre os divisores comuns (maior capacidade que ainda faça divisão exata). O maior divisor comum dos três números é o máximo inteiro \,c que divide todos eles — isto é o Máximo Divisor Comum (MDC), também chamado de Greatest Common Divisor (GCD).
  • Resumo prático: calcular \mathrm{MDC}(180,240,288). Esse valor será a capacidade ótima \,c. Depois calcular quantos tambores cabem em cada barril e somar.
(Dica rápida: escolher um c maior reduz o número de tambores porque cada tambor guarda mais líquido. Mas c não pode deixar resto em nenhum barril.)

Passo 3

Cálculo do \mathrm{MDC} passo a passo usando o algoritmo de Euclides (método padrão para encontrar o maior divisor comum).
  1. Primeiro calcule \mathrm{MDC}(180,240).
  • Note que \,180=60\cdot 3 e \,240=60\cdot 4. Portanto \gcd(180,240)=60.
    Em notação:
\gcd(180,240)=60.
  1. Agora calcule \gcd(60,288).
  • Use o algoritmo de Euclides: dividindo \,288 por \,60 obtemos resto:
288 = 60\cdot 4 + 48.
  • Agora calcule \gcd(60,48). Dividindo:
60 = 48\cdot 1 + 12.
  • Agora calcule \gcd(48,12). Dividindo:
48 = 12\cdot 4 + 0.
Quando o resto chega a zero, o último divisor não nulo é o \gcd. Assim
\gcd(60,288)=12.
Portanto o maior divisor comum dos três volumes é
\gcd(180,240,288)=12.

Passo 4

Interpretação e cálculo do número de tambores com \,c=12 litros (capacidade ótima).
  • Cada tambor terá capacidade \,12 litros (pegamos esse valor porque é o maior inteiro que divide todos os volumes).
  • Número de tambores por barril:
\frac{180}{12}=15,\qquad \frac{240}{12}=20,\qquad \frac{288}{12}=24.
  • Número total de tambores:
15+20+24=59.
Breve justificativa da otimalidade: qualquer capacidade maior que \,12 não divide pelo menos um dos volumes (logo haveria sobra ou mistura, proibido). Qualquer capacidade menor que \,12 aumentaria \frac{180+240+288}{c} (porque divisor menor → mais tambores). Portanto \,c=12 minimiza o número total.

Passo 5

Encorajamento rápido: deu trabalho mas a ideia central é sempre essa em problemas de “dividir objetos em recipientes iguais sem sobra”: encontrar o maior divisor comum e dividir os volumes por ele. Se ficar nervoso na prova, lembre-se: maior capacidade → menos recipientes, e capacidade válida = divisor comum → MDC.

Resposta

59

Exercícios relacionados