- Na produção de vinhos, uma das etapas é a fermentação, que pode ser feita em tanques de aço ou madeira. Vinhos feitos em tanque de aço têm sabor mais frutado; quando a fermentação é feita em madeira, o vinho ganha sabores amadeirados. Cada detalhe da fermentação é importante, pois dela depende a qualidade do vinho. Por isso, temperatura, oxigenação, contato com o ar e outros fatores devem ser bem analisados. Um produtor de vinho do Piauí possui, por exemplo, três barris de vinho com 180, 240 e 288 litros de vinho de qualidade diferente. O produtor deseja acondicioná-los em tambores de madeira de capacidade igual. O volume do tambor é expresso em números inteiros de litros, e vinhos de qualidade diferente não devem ser misturados. Qual então, é a menor quantidade de tambores de madeira que será usada para que o vinho não seja desperdiçado?
a) 59 .
b) 63 .
c) 77 .
d) 89 .
e) 90 .
a) 59 .
b) 63 .
c) 77 .
d) 89 .
e) 90 .
Passo 1
O enunciado nos dá três volumes de vinho, cada um com qualidade diferente, e pede quantos tambores idênticos (mesma capacidade inteira, sem misturar vinhos) são necessários para acondicionar todo o vinho sem desperdício, minimizando o número de tambores. Os dados relevantes são:
- Volume do barril 1:
litros. - Volume do barril 2:
litros. - Volume do barril 3:
litros.
O que se pede explicitamente: qual é a menor quantidade total de tambores de madeira (cada tambor com mesma capacidade inteira de litros) que serão usados, sabendo que vinhos diferentes não podem ser misturados e não pode haver sobras.
Passo 2
Entendimento das condições e ideia do método (explicado passo a passo, sem pressupor conhecimento prévio).
- Se cada tambor tem capacidade inteira
litros, e não pode haver sobras nem mistura, então deve dividir exatamente cada um dos volumes. Ou seja, precisa ser um divisor comum de . - O número de tambores usado para um barril de volume
é . Logo o número total de tambores é
- Para minimizar esse total, devemos escolher
o mais grande possível entre os divisores comuns (maior capacidade que ainda faça divisão exata). O maior divisor comum dos três números é o máximo inteiro que divide todos eles — isto é o Máximo Divisor Comum (MDC), também chamado de Greatest Common Divisor (GCD). - Resumo prático: calcular
. Esse valor será a capacidade ótima . Depois calcular quantos tambores cabem em cada barril e somar.
(Dica rápida: escolher um
maior reduz o número de tambores porque cada tambor guarda mais líquido. Mas
não pode deixar resto em nenhum barril.)
Passo 3
Cálculo do
passo a passo usando o algoritmo de Euclides (método padrão para encontrar o maior divisor comum).
- Primeiro calcule
.
- Note que
e . Portanto .
Em notação:
- Agora calcule
.
- Use o algoritmo de Euclides: dividindo
por obtemos resto:
- Agora calcule
. Dividindo:
- Agora calcule
. Dividindo:
Quando o resto chega a zero, o último divisor não nulo é o
. Assim
Portanto o maior divisor comum dos três volumes é
Passo 4
Interpretação e cálculo do número de tambores com
litros (capacidade ótima).
- Cada tambor terá capacidade
litros (pegamos esse valor porque é o maior inteiro que divide todos os volumes). - Número de tambores por barril:
- Número total de tambores:
Breve justificativa da otimalidade: qualquer capacidade maior que
não divide pelo menos um dos volumes (logo haveria sobra ou mistura, proibido). Qualquer capacidade menor que
aumentaria
(porque divisor menor → mais tambores). Portanto
minimiza o número total.
Passo 5
Encorajamento rápido: deu trabalho mas a ideia central é sempre essa em problemas de “dividir objetos em recipientes iguais sem sobra”: encontrar o maior divisor comum e dividir os volumes por ele. Se ficar nervoso na prova, lembre-se: maior capacidade → menos recipientes, e capacidade válida = divisor comum → MDC.
Resposta
59