O produto de dois números é 512. Aumentando-se um deles de 7 unidades, o produto aumenta de 112 unidades. Quais são esses números?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
-
Dados:
- O produto de dois números é
. Ou seja, se os números são e , então . - Ao aumentar um deles em
unidades, o produto aumenta em unidades. Ou seja, se aumentamos em obtemos um produto que vale ; alternativamente, se aumentamos em o produto também ficaria .
- O produto de dois números é
-
Pergunta:
- Quais são esses dois números?
Passo 2
Escolhendo variáveis e escrevendo as equações.
- Seja
e os dois números reais a determinar. - A primeira equação dada é
- A segunda condição (aumentando-se um deles em
unidades o produto aumenta em ) pode significar duas coisas distintas, dependendo de qual número é aumentado. Vou tratar as duas possibilidades separadamente: - Aumenta-se
: então . - Aumenta-se
: então .
- Aumenta-se
Passo 3
Resolver a possibilidade 1 (aumenta-se
): transformar as equações e isolar uma variável.
- Partindo de
e sabendo que , subtraio as duas igualdades:
- No primeiro membro,
. No segundo membro, . Logo
- Dividindo ambos os lados por
(explicando: dividir significa repartir igualmente; porque ),
Passo 4
Encontrar o outro número no caso 1 e verificar aritmeticamente.
- Usando
e , temos
- Fazer a divisão sem calculadora:
e ; ; assim . Portanto
- Verificação direta (para ganhar confiança):
. Calcular mentalmente: . Como , a condição é satisfeita.
Passo 5
Resolver a possibilidade 2 (aumenta-se
): repetir o raciocínio trocando papéis.
- Pela segunda possibilidade temos
e . Subtraindo:
ou seja
- Dividindo por
,
- Então, usando
,
- Este caso dá o mesmo par de números, apenas trocando a ordem:
, que é equivalente ao par encontrado antes.
Passo 6
Verificar se podem existir soluções com números negativos.
- Como
, os dois números podem ser ambos positivos ou ambos negativos. Vamos checar se um par negativo poderia atender à condição de o produto aumentar em ao aumentar um deles por . - Seja
e com . Então . - Se aumentarmos
em obtemos e o novo produto é . A variação do produto é , que é negativa (pois ), logo não pode ser . - Se aumentarmos
em a variação será , também negativa. Logo não existe par de números ambos negativos que satisfaça o enunciado. - Conclusão: apenas o par de positivos encontrado é válido.
Passo 7
Interpretação final e comentário prático para prova.
- O truque chave: escrever as duas equações e subtrair para eliminar termos (a diferença entre os produtos dá
vezes a outra variável). Isso reduz o problema a uma equação linear simples do tipo , facilmente resolvível sem calculadora. - É sempre útil checar ambos os casos (aumentar o primeiro ou o segundo número) e verificar sinais (possibilidade de soluções negativas). Também sempre verifique substituindo de volta para evitar erros de cálculo.