O produto de dois números é 512. Aumentando-se um deles de 7 unidades, o produto aumenta de 112 unidades. Quais são esses números?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados:
    • O produto de dois números é 512. Ou seja, se os números são x e y, então xy=512.
    • Ao aumentar um deles em 7 unidades, o produto aumenta em 112 unidades. Ou seja, se aumentamos x em 7 obtemos um produto que vale 512+112=624; alternativamente, se aumentamos y em 7 o produto também ficaria 624.
  • Pergunta:
    • Quais são esses dois números?

Passo 2

Escolhendo variáveis e escrevendo as equações.
  • Seja x e y os dois números reais a determinar.
  • A primeira equação dada é
xy = 512.
  • A segunda condição (aumentando-se um deles em 7 unidades o produto aumenta em 112) pode significar duas coisas distintas, dependendo de qual número é aumentado. Vou tratar as duas possibilidades separadamente:
    1. Aumenta-se x: então (x+7)y = 624.
    2. Aumenta-se y: então x(y+7) = 624.

Passo 3

Resolver a possibilidade 1 (aumenta-se x): transformar as equações e isolar uma variável.
  • Partindo de (x+7)y = 624 e sabendo que xy=512, subtraio as duas igualdades:
(x+7)y - xy = 624 - 512.
  • No primeiro membro, (x+7)y - xy = 7y. No segundo membro, 624-512=112. Logo
7y = 112.
  • Dividindo ambos os lados por 7 (explicando: dividir significa repartir igualmente; 112\div7=16 porque 7\cdot16=112),
y = 16.

Passo 4

Encontrar o outro número no caso 1 e verificar aritmeticamente.
  • Usando xy=512 e y=16, temos
x = \frac{512}{16}.
  • Fazer a divisão sem calculadora: 16\cdot30=480 e 512-480=32; 16\cdot2=32; assim 512=16\cdot(30+2)=16\cdot32. Portanto
x = 32.
  • Verificação direta (para ganhar confiança): (x+7)y=(32+7)\cdot16=39\cdot16. Calcular 39\cdot16 mentalmente: 40\cdot16-1\cdot16=640-16=624. Como 624-512=112, a condição é satisfeita.

Passo 5

Resolver a possibilidade 2 (aumenta-se y): repetir o raciocínio trocando papéis.
  • Pela segunda possibilidade temos x(y+7)=624 e xy=512. Subtraindo:
x(y+7)-xy = 624-512,
ou seja
7x = 112.
  • Dividindo por 7,
x = 16.
  • Então, usando xy=512,
y = \frac{512}{16} = 32.
  • Este caso dá o mesmo par de números, apenas trocando a ordem: (x,y)=(16,32), que é equivalente ao par encontrado antes.

Passo 6

Verificar se podem existir soluções com números negativos.
  • Como 512>0, os dois números podem ser ambos positivos ou ambos negativos. Vamos checar se um par negativo poderia atender à condição de o produto aumentar em 112 ao aumentar um deles por 7.
  • Seja x=-u e y=-v com u,v>0. Então xy = (-u)(-v)=uv=512.
  • Se aumentarmos x em 7 obtemos x+7 = -u+7 e o novo produto é (-u+7)(-v)=uv -7v = 512 - 7v. A variação do produto é -7v, que é negativa (pois v>0), logo não pode ser +112.
  • Se aumentarmos y em 7 a variação será -7u, também negativa. Logo não existe par de números ambos negativos que satisfaça o enunciado.
  • Conclusão: apenas o par de positivos encontrado é válido.

Passo 7

Interpretação final e comentário prático para prova.
  • O truque chave: escrever as duas equações e subtrair para eliminar termos (a diferença entre os produtos dá 7 vezes a outra variável). Isso reduz o problema a uma equação linear simples do tipo 7\cdot(\text{variável})=112á, facilmente resolvível sem calculadora.
  • É sempre útil checar ambos os casos (aumentar o primeiro ou o segundo número) e verificar sinais (possibilidade de soluções negativas). Também sempre verifique substituindo de volta para evitar erros de cálculo.

Resposta

32 e 16

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