O produto de dois números inteiros positivos que não são primos entre si é igual a 825 . Qual é o mdc entre esses números?

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do \gcd(a,b), onde a e b são inteiros positivos que não são primos entre si (ou seja, \gcd(a,b)>1) e satisfazem
a \cdot b = 825.
Vamos usar fatoração de inteiros, listar pares de divisores e calcular o \gcd de cada par para identificar aqueles com \gcd>1.

Passo 2

Fatoramos o número 825. Em módulo de fatores primos:
825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11.

Passo 3

Listamos todos os pares de divisores positivos (a,b) tais que a\cdot b=825:
(1,825), (3,275), (5,165), (11,75), (15,55), (25,33).

Passo 4

Calculamos o \gcd de cada par e descartamos os que dão \gcd=1:
\gcd(1,825)=1 (descartado),
\gcd(3,275)=1 (descartado),
\gcd(5,165)=5,
\gcd(11,75)=1 (descartado),
\gcd(15,55)=5,
\gcd(25,33)=1 (descartado).
Os únicos pares com \gcd>1 são (5,165) e (15,55), ambos com \gcd=5.

Passo 5

Concluímos que, dado que os números não são primos entre si e seu produto é 825, o único valor possível de \gcd(a,b) é 5.

Resposta

5

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