Para cada par a e b de números inteiros abaixo, calcule o máximo divisor comum e determine r e s de modo que mdc (a, b)=r a+s b
a=209, b=88

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do máximo divisor comum de a=209 e b=88 e, em seguida, os coeficientes r e s tais que
\gcd(209,88)=r\cdot 209 + s\cdot 88.
Para isso vamos usar o Algoritmo de Euclides e depois o Algoritmo de Euclides Estendido.

Passo 2

Aplicando o Algoritmo de Euclides para achar \gcd(209,88):
209 = 88 \times 2 + 33,
88 = 33 \times 2 + 22,
33 = 22 \times 1 + 11,
22 = 11 \times 2 + 0.
Como o último resto não-nulo é 11, temos
\gcd(209,88)=11.

Passo 3

Agora escrevemos o resto 11 como combinação dos restos anteriores. Da terceira divisão extraímos
11 = 33 - 22 \times 1.

Passo 4

Substituímos 22 da segunda divisão, onde 22 = 88 - 33 \times 2:
11 = 33 - \bigl(88 - 33\times 2\bigr) = 33 \times 3 - 88.

Passo 5

Finalmente substituímos 33 da primeira divisão, onde 33 = 209 - 88 \times 2:
11 = \bigl(209 - 88 \times 2\bigr)\times 3 - 88 = 209 \times 3 - 88 \times 6 - 88 = 209 \times 3 - 88 \times 7.
Logo os coeficientes de Bézout são r=3 e s=-7.

Resposta

\gcd(209,88)=11, com r=3 e s=-7, pois
11 = 3\cdot 209 + (-7)\cdot 88.

Exercícios relacionados