Produto Escalar em Função das Coordenadas. Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como
e
b=bx i+by j +bz k
Mostre que
by +az bz.
b=bx i+by j +bz k
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá dois vetores em
escritos na base canônica
:
Queremos mostrar que o produto escalar desses vetores satisfaz
Para isso, usaremos a bilinearidade do produto escalar e o fato de que a base é ortonormal, isto é,
,
,
e todos os produtos cruzados são zero.
Passo 2
Aplicando a distributividade (bilinearidade) do produto escalar, expandimos
Isto gera nove termos:
Passo 3
Usando a ortonormalidade da base, todos os produtos cruzados valem zero e os produtos unitários valem 1. Logo só sobram os termos diagonais: