Produto Escalar em Função das Coordenadas. Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como
a=a x i+a y j+a z k
e
b=bx i+by j +bz k
Mostre que
\mathrm{a} \cdot \mathrm{b}=\mathrm{ax} \mathrm{bx}+\mathrm{ay} by +az bz.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em \mathbb{R}^3 escritos na base canônica \{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}:
\mathbf{a} = a_x\,\mathbf{i} + a_y\,\mathbf{j} + a_z\,\mathbf{k}, \quad \mathbf{b} = b_x\,\mathbf{i} + b_y\,\mathbf{j} + b_z\,\mathbf{k}.
Queremos mostrar que o produto escalar desses vetores satisfaz
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x\,b_x + a_y\,b_y + a_z\,b_z.
Para isso, usaremos a bilinearidade do produto escalar e o fato de que a base é ortonormal, isto é, \mathbf{i}\cdot\mathbf{i}=1, \mathbf{j}\cdot\mathbf{j}=1, \mathbf{k}\cdot\mathbf{k}=1 e todos os produtos cruzados são zero.

Passo 2

Aplicando a distributividade (bilinearidade) do produto escalar, expandimos
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \bigl(a_x\,\mathbf{i} + a_y\,\mathbf{j} + a_z\,\mathbf{k}\bigr)\cdot \bigl(b_x\,\mathbf{i} + b_y\,\mathbf{j} + b_z\,\mathbf{k}\bigr).
Isto gera nove termos:
a_x b_x\,(\mathbf{i}\cdot\mathbf{i}) + a_x b_y\,(\mathbf{i}\cdot\mathbf{j}) + a_x b_z\,(\mathbf{i}\cdot\mathbf{k}) + a_y b_x\,(\mathbf{j}\cdot\mathbf{i}) + a_y b_y\,(\mathbf{j}\cdot\mathbf{j}) + a_y b_z\,(\mathbf{j}\cdot\mathbf{k}) + a_z b_x\,(\mathbf{k}\cdot\mathbf{i}) + a_z b_y\,(\mathbf{k}\cdot\mathbf{j}) + a_z b_z\,(\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}).

Passo 3

Usando a ortonormalidade da base, todos os produtos cruzados valem zero e os produtos unitários valem 1. Logo só sobram os termos diagonais:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x b_x\cdot1 + a_y b_y\cdot1 + a_z b_z\cdot1 = a_x\,b_x + a_y\,b_y + a_z\,b_z.

Resposta

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = a_x\,b_x + a_y\,b_y + a_z\,b_z.

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