O produto interno bruto (PIB) de um certo país era de 100 milhões de dólares em 1990 e de 180 milhões de dólares no ano 2000. Supondo que o PIB tem um crescimento exponencial, em relação ao tempo t, dado por
P(t)=A e^{k t}
Passo 1
O enunciado nos dá o modelo exponencial
P(t)=A e^{k t}
e informa dois pontos no tempo (peguei esses números do enunciado):
Em 1990 o PIB era 100 milhões de dólares, ou seja P(1990)=100.
Em 2000 o PIB era 180 milhões de dólares, ou seja P(2000)=180.
Para trabalhar com t de forma simples vou adotar a convenção usual: tomar t=0 em 1990. Assim:
t=0 corresponde a 1990,
t=10 corresponde a 2000.
O que vamos obter como respostas (ou seja, o que o problema pede implicitamente):
determinar A e k no modelo P(t)=A e^{k t};
escrever a fórmula explícita P(t) usando esses valores;
interpretar k como taxa de crescimento anual (em porcentagem).
Passo 2
Entender o papel de A e k.
Na fórmula \;P(t)=A e^{k t}\;:
P(t) é o PIB no instante t (milhões de dólares).
A é o valor inicial do PIB quando t=0 (ou seja, o PIB em 1990, pela convenção que fizemos).
k é a constante de crescimento contínuo (unidade: ano^{-1}). Se k>0, há crescimento; se k<0, há decrescimento.
Agora uso o dado em t=0. Como \;P(0)=A e^{k\cdot 0}=A e^{0}=A\;, e sabemos que P(0)=100. Logo:
A=100.
Interpretação: o parâmetro A é simplesmente o PIB inicial (100 milhões de dólares).
Passo 3
Determinar k usando o segundo ponto t=10 (ano 2000).
Plugando t=10 na fórmula com A=100:
P(10)=100\,e^{10k}=180.
Isolando a exponencial:
e^{10k}=\frac{180}{100}=1{,}8.
Agora aplicamos logaritmo natural para “desfazer” a exponenciação. Lembrete rápido: \ln(e^{x})=x. Assim
10k=\ln(1{,}8).
Portanto
k=\frac{\ln(1{,}8)}{10}.
Passo 4
Interpretar e aproximar numericamente k.
A expressão \frac{\ln(1{,}8)}{10} é a resposta exata para k. Em palavra: k é o logaritmo natural de 1{,}8 dividido por 10 anos.
Para um valor numérico aproximado, calcula-se \ln(1{,}8)\approx 0{,}587786. Dividindo por 10:
k\approx 0{,}0587786\\ \text{ano}^{-1}.
Interpretação como taxa percentual anual (crescimento contínuo):
Multiplicando por 100 para obter porcentagem:
k\approx 5{,}87786\\ \%.
Isto significa que o PIB cresce a aproximadamente 5{,}88\% ao ano, em regime de capitalização contínua.
Passo 5
Escrever a função P(t) de forma final e apresentar formas alternativas úteis.
ou seja 324 milhões de dólares em 2010 (estimação pelo modelo).
Resposta
A=100 milhões de dólares k=\dfrac{\ln(1{,}8)}{10}\approx 0{,}05878\\ \text{ano}^{-1} (ou \approx 5{,}8779\% ao ano) P(t)=100\,e^{\left(\dfrac{\ln(1{,}8)}{10}\right)t}=100\,(1{,}8)^{t/10}