O produto interno bruto (PIB) de um certo país era de 100 milhões de dólares em 1990 e de 180 milhões de dólares no ano 2000. Supondo que o PIB tem um crescimento exponencial, em relação ao tempo t, dado por
P(t)=A e^{k t}

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo exponencial
P(t)=A e^{k t}
e informa dois pontos no tempo (peguei esses números do enunciado):
  • Em 1990 o PIB era 100 milhões de dólares, ou seja P(1990)=100.
  • Em 2000 o PIB era 180 milhões de dólares, ou seja P(2000)=180.
Para trabalhar com t de forma simples vou adotar a convenção usual: tomar t=0 em 1990. Assim:
  • t=0 corresponde a 1990,
  • t=10 corresponde a 2000.
O que vamos obter como respostas (ou seja, o que o problema pede implicitamente):
  • determinar A e k no modelo P(t)=A e^{k t};
  • escrever a fórmula explícita P(t) usando esses valores;
  • interpretar k como taxa de crescimento anual (em porcentagem).

Passo 2

Entender o papel de A e k.
  • Na fórmula \;P(t)=A e^{k t}\;:
    • P(t) é o PIB no instante t (milhões de dólares).
    • A é o valor inicial do PIB quando t=0 (ou seja, o PIB em 1990, pela convenção que fizemos).
    • k é a constante de crescimento contínuo (unidade: ano ^{-1}). Se k>0, há crescimento; se k<0, há decrescimento.
Agora uso o dado em t=0. Como \;P(0)=A e^{k\cdot 0}=A e^{0}=A\;, e sabemos que P(0)=100. Logo:
A=100.
Interpretação: o parâmetro A é simplesmente o PIB inicial (100 milhões de dólares).

Passo 3

Determinar k usando o segundo ponto t=10 (ano 2000).
Plugando t=10 na fórmula com A=100:
P(10)=100\,e^{10k}=180.
Isolando a exponencial:
e^{10k}=\frac{180}{100}=1{,}8.
Agora aplicamos logaritmo natural para “desfazer” a exponenciação. Lembrete rápido: \ln(e^{x})=x. Assim
10k=\ln(1{,}8).
Portanto
k=\frac{\ln(1{,}8)}{10}.

Passo 4

Interpretar e aproximar numericamente k.
  • A expressão \frac{\ln(1{,}8)}{10} é a resposta exata para k. Em palavra: k é o logaritmo natural de 1{,}8 dividido por 10 anos.
  • Para um valor numérico aproximado, calcula-se \ln(1{,}8)\approx 0{,}587786. Dividindo por 10:
k\approx 0{,}0587786\\ \text{ano}^{-1}.
Interpretação como taxa percentual anual (crescimento contínuo):
  • Multiplicando por 100 para obter porcentagem:
k\approx 5{,}87786\\ \%.
Isto significa que o PIB cresce a aproximadamente 5{,}88\% ao ano, em regime de capitalização contínua.

Passo 5

Escrever a função P(t) de forma final e apresentar formas alternativas úteis.
A forma com A e k conhecidos é
P(t)=100\,e^{\left(\dfrac{\ln(1{,}8)}{10}\right) t}.
Uma forma equivalente, por uso de propriedades de logaritmo e exponencial, é
P(t)=100\,(1{,}8)^{t/10},
porque e^{(\ln(1{,}8)/10)\,t}=(e^{\ln(1{,}8)})^{t/10}=(1{,}8)^{t/10}.
Exemplo prático rápido (útil na prova): para 2010, ou seja t=20,
P(20)=100\,(1{,}8)^{20/10}=100\,(1{,}8)^2=100\cdot 3{,}24=324,
ou seja 324 milhões de dólares em 2010 (estimação pelo modelo).

Resposta

A=100 milhões de dólares
k=\dfrac{\ln(1{,}8)}{10}\approx 0{,}05878\\ \text{ano}^{-1} (ou \approx 5{,}8779\% ao ano)
P(t)=100\,e^{\left(\dfrac{\ln(1{,}8)}{10}\right)t}=100\,(1{,}8)^{t/10}

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