Uma empresa que produz softwares para segurança de imóveis tem como função de custo total
e demanda
. Faça o gráfico da função lucro e responda qual a quantidade demandada maximiza o lucro.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Função custo total:
. - Função demanda:
. - O que é pedido: (1) fazer o gráfico da função lucro; (2) dizer qual a quantidade demandada que maximiza o lucro.
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado):
-
. -
.
Passo 2
Entendendo receita e lucro — definição e relação com a demanda.
-
Receita (receita total) é o preço vezes a quantidade vendida. Se o preço unitário é
e vende-se unidades, a receita é .
Aquinão está dada diretamente em função de , mas temos a demanda . Posso inverter essa relação para escrever em função de . -
Invertendo
para achar :
Escrevendo de forma mais simples:
Passo 3
Montando a função receita
.
- Receita como função de
:
- Desenvolvendo o produto:
Explicação curta: multiplicou-se cada termo da expressão de
por
.
Passo 4
Montando a função lucro
.
- Lucro é receita menos custo:
- Substituindo
e :
- Agora vamos somar/ subtrair os termos semelhantes passo a passo:
Primeiro junte os termos em
:
Depois os termos em
:
E o termo constante fica
.
- Portanto a função lucro final é
Comentário:
é uma parábola (função quadrática) com coeficiente de
negativo, então é uma parábola voltada para baixo — tem um ponto máximo (vértice).
Passo 5
Como achar a quantidade
que maximiza o lucro (vértice da parábola).
- Para uma função quadrática genérica
, o do vértice é dado por
Aqui
e
. Vou aplicar a fórmula exatamente.
- Calcule
:
- Agora
Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:
- Em decimal (com vírgula):
.
Interpretação: vender
unidades (quantidade demandada) maximiza o lucro. (Em problemas práticos, pode-se arredondar conforme a unidade permitida; aqui tratamos quantidade como variável real.)
Passo 6
Valor máximo do lucro e preço correspondente (extras úteis para o gráfico).
- Calculando o lucro máximo
. Substituindo em ou usando cálculo direto:
Primeiro calcule
diretamente com a expressão:
Calcule passo a passo:
Fazendo as contas de forma limpa (usar decimais mais simples):
-
Portanto o lucro máximo é
. -
Preço correspondente: usando
,
Resumo numérico útil para o gráfico:
- Vértice:
. - Intercepto em
: (custo fixo negativo). - Zeros do lucro (onde
) ocorrem aproximadamente em e — útil para desenhar onde a parábola cruza o eixo .
Passo 7
Como desenhar o gráfico da função lucro (instruções passo a passo para esboçar à mão ou em uma calculadora simples).
- Eixos: eixo horizontal
(quantidade), eixo vertical (lucro). - Marque o ponto
e calcule — ponto inicial abaixo do eixo . - Marque o vértice em
com altura . Esse é o ponto mais alto da parábola. - Marque os zeros aproximados em
e — aí a parábola cruza o eixo . - A parábola abre para baixo (porque o coeficiente de
é negativo). Faça o esboço passando por esses pontos: começa abaixo do eixo em , sobe atravessando , atinge o máximo em e depois desce e cruza novamente em .
Tabela de pontos (para ajudar no traço):
Use esses pontos para desenhar a forma correta.
Passo 8
Interpretação final motivadora (rápida).
- Conclusão prática: existe uma quantidade interna (não nas extremidades) que maximiza o lucro porque o lucro é uma parábola voltada para baixo. Vender cerca de
unidades maximiza o lucro e dá lucro de cerca de unidades monetárias, cobrindo o custo fixo e variável.