Uma empresa que produz softwares para segurança de imóveis tem como função de custo total C(x)=x^{2}+5 x+10 e demanda x=f(p)=100-5 p. Faça o gráfico da função lucro e responda qual a quantidade demandada maximiza o lucro.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Função custo total: C(x)=x^{2}+5x+10.
  • Função demanda: x=f(p)=100-5p.
  • O que é pedido: (1) fazer o gráfico da função lucro; (2) dizer qual a quantidade demandada que maximiza o lucro.
Informações relevantes que vou usar (retiradas do enunciado):
  • C(x)=x^{2}+5x+10.
  • x=100-5p.

Passo 2

Entendendo receita e lucro — definição e relação com a demanda.
  • Receita (receita total) é o preço vezes a quantidade vendida. Se o preço unitário é p e vende-se x unidades, a receita é R=p\cdot x.
    Aqui p não está dada diretamente em função de x, mas temos a demanda x=100-5p. Posso inverter essa relação para escrever p em função de x.
  • Invertendo x=100-5p para achar p:
x=100-5p \quad\Rightarrow\quad 5p=100-x \quad\Rightarrow\quad p=\frac{100-x}{5}.
Escrevendo de forma mais simples:
p=20-\frac{x}{5}.

Passo 3

Montando a função receita R(x).
  • Receita como função de x:
R(x)=p(x)\cdot x=\left(20-\frac{x}{5}\right)x.
  • Desenvolvendo o produto:
R(x)=20x-\frac{x^{2}}{5}.
Explicação curta: multiplicou-se cada termo da expressão de p(x) por x.

Passo 4

Montando a função lucro \pi(x).
  • Lucro é receita menos custo:
\pi(x)=R(x)-C(x).
  • Substituindo R(x) e C(x):
\pi(x)=\left(20x-\frac{x^{2}}{5}\right)-\left(x^{2}+5x+10\right).
  • Agora vamos somar/ subtrair os termos semelhantes passo a passo:
Primeiro junte os termos em x^{2}:
-\frac{x^{2}}{5}-x^{2}=-\left(\frac{1}{5}+1\right)x^{2}=-\frac{6}{5}x^{2}.
Depois os termos em x:
20x-5x=15x.
E o termo constante fica -10.
  • Portanto a função lucro final é
\pi(x)=-\frac{6}{5}x^{2}+15x-10.
Comentário: \pi(x) é uma parábola (função quadrática) com coeficiente de x^{2} negativo, então é uma parábola voltada para baixo — tem um ponto máximo (vértice).

Passo 5

Como achar a quantidade x que maximiza o lucro (vértice da parábola).
  • Para uma função quadrática genérica \pi(x)=ax^{2}+bx+c, o x do vértice é dado por
x^{*}=-\frac{b}{2a}.
Aqui a=-\dfrac{6}{5} e b=15. Vou aplicar a fórmula exatamente.
  • Calcule 2a:
2a=2\cdot\left(-\frac{6}{5}\right)=-\frac{12}{5}.
  • Agora
x^{*}=-\frac{b}{2a}=-\frac{15}{-\frac{12}{5}}.
Dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso:
x^{*}=-15\cdot\left(-\frac{5}{12}\right)=\frac{75}{12}=\frac{25}{4}.
  • Em decimal (com vírgula): \displaystyle x^{*}=\frac{25}{4}=6,25.
Interpretação: vender 6,25 unidades (quantidade demandada) maximiza o lucro. (Em problemas práticos, pode-se arredondar conforme a unidade permitida; aqui tratamos quantidade como variável real.)

Passo 6

Valor máximo do lucro e preço correspondente (extras úteis para o gráfico).
  • Calculando o lucro máximo \pi(x^{*}). Substituindo x^{*}=\dfrac{25}{4} em \pi(x) ou usando cálculo direto:
Primeiro calcule \pi diretamente com a expressão:
\pi\!\left(\tfrac{25}{4}\right)=-\frac{6}{5}\left(\tfrac{25}{4}\right)^{2}+15\left(\tfrac{25}{4}\right)-10.
Calcule passo a passo:
\left(\tfrac{25}{4}\right)^{2}=\tfrac{625}{16}, \qquad -\frac{6}{5}\cdot \tfrac{625}{16}=-\tfrac{6\cdot625}{5\cdot16}=-\tfrac{3750}{80}=-\tfrac{75}{1,6} \text{ (seguindo os passos) }.
Fazendo as contas de forma limpa (usar decimais mais simples):
\pi\!\left(\tfrac{25}{4}\right)=36{,}875=\frac{295}{8}.
  • Portanto o lucro máximo é \pi_{\max}=36{,}875.
  • Preço correspondente: usando p=20-\dfrac{x}{5},
p^{*}=20-\frac{6{,}25}{5}=20-1{,}25=18{,}75.
Resumo numérico útil para o gráfico:
  • Vértice: \bigl(x^{*},\pi(x^{*})\bigr)=\left(\dfrac{25}{4},\dfrac{295}{8}\right)=\bigl(6{,}25,\;36{,}875\bigr).
  • Intercepto em x=0: \pi(0)=-10 (custo fixo negativo).
  • Zeros do lucro (onde \pi(x)=0) ocorrem aproximadamente em x\approx0{,}71 e x\approx11{,}79 — útil para desenhar onde a parábola cruza o eixo x.

Passo 7

Como desenhar o gráfico da função lucro (instruções passo a passo para esboçar à mão ou em uma calculadora simples).
  1. Eixos: eixo horizontal x (quantidade), eixo vertical \pi(x) (lucro).
  2. Marque o ponto x=0 e calcule \pi(0)=-10 — ponto inicial abaixo do eixo x.
  3. Marque o vértice em x=6{,}25 com altura \pi=36{,}875. Esse é o ponto mais alto da parábola.
  4. Marque os zeros aproximados em x\approx0{,}71 e x\approx11{,}79 — aí a parábola cruza o eixo x.
  5. A parábola abre para baixo (porque o coeficiente de x^{2} é negativo). Faça o esboço passando por esses pontos: começa abaixo do eixo em x=0, sobe atravessando x\approx0{,}71, atinge o máximo em x=6{,}25 e depois desce e cruza novamente em x\approx11{,}79.
Tabela de pontos (para ajudar no traço):
\begin{array}{c|c} x & \pi(x)\\hline 0 & -10\\\\ 2 & \pi(2)=-\dfrac{6}{5}\cdot4+30-10 = -4{,}8+20=15{,}2\\\\ 6{,}25 & 36{,}875\\ (\text{vértice})\\\\ 10 & \pi(10)=-\dfrac{6}{5}\cdot100+150-10=-120+140=20 \end{array}é
Use esses pontos para desenhar a forma correta.

Passo 8

Interpretação final motivadora (rápida).
  • Conclusão prática: existe uma quantidade interna (não nas extremidades) que maximiza o lucro porque o lucro é uma parábola voltada para baixo. Vender cerca de 6{,}25 unidades maximiza o lucro e dá lucro de cerca de 36{,}875 unidades monetárias, cobrindo o custo fixo e variável.

Resposta

x^{*}=\dfrac{25}{4}=6{,}25

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