Resolva o que se pede:
Faça o gráfico da função p(x)=\log _{7} x.

Passo 1

O enunciado pede: "Faça o gráfico da função p(x)=\log_{7} x".
Informações dadas:
  • A função é p(x)=\log_{7} x.
  • A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico dessa função e entender seu comportamento.

Passo 2

Entender o que é \log_{7} x. Aula rápida e prática: por definição
y=\log_{7} x \quad\Longleftrightarrow\quad 7^{y}=x.
Isto significa que o logaritmo dá o expoente que você deve pôr em 7 para obter x. Esse vínculo com a exponencial é a chave para obter domínio, imagem e pontos importantes do gráfico sem mistério.

Passo 3

Domínio e imagem (o que dá para colocar em x e o que p(x) pode assumir).
  • Pela definição exponencial 7^{y}=x só se obtém x>0. Logo o domínio é (0,\infty).
  • À medida que y varia em todos os reais, 7^{y} varre todo (0,\infty), então o logaritmo assume todos os reais. Logo a imagem é (-\infty,\infty).

Passo 4

Pontos-chave para desenhar (escolha de pontos fáceis usando potências de 7).
  • Para x=1: \log_{7}1=0. Então passa por (1,0).
  • Para x=7: \log_{7}7=1. Então passa por (7,1).
  • Para x=49=7^{2}: \log_{7}49=2. Então passa por (49,2).
  • Para x=\tfrac{1}{7}: \log_{7}\tfrac{1}{7}=-1. Então passa por (\tfrac{1}{7},-1).
    Esses pontos são perfeitos porque decorrem diretamente de 7^{y}=x.

Passo 5

Assíntota e limites (comportamento perto de x=0 e x\to\infty).
  • Quando x\to 0^{+} (aproxima-se de zero pela direita), a potência correspondente y deve ficar muito negativa para 7^{y} ser pequeno, então
\lim_{x\to 0^{+}}\log_{7} x = -\infty.
Isto mostra uma assíntota vertical em x=0.
  • Quando x\to\infty,
\lim_{x\to\infty}\log_{7} x = \infty,
mas cresce devagar (a curva sobe sem parar, porém de forma lenta).

Passo 6

Monotonicidade — por que a curva é crescente? (fórmula e explicação passo a passo)
  • Usamos mudança de base para relacionar com o logaritmo natural: \log_{7} x = \dfrac{\ln x}{\ln 7}.
  • Derivando (a técnica: derivada de \ln x é 1/x, e \ln 7 é constante), obtemos
p'(x)=\frac{1}{x\ln 7}.
  • Como x>0 no domínio e \ln 7>0 (porque 7>1), temos p'(x)>0 para todo x do domínio. Logo p é estritamente crescente: à medida que x aumenta, p(x) aumenta.
  • Para ter uma noção numérica da inclinação: \ln 7\approx 1{,}9459, então
p'(1)=\frac{1}{\ln 7}\approx 0{,}514,\qquad p'(7)=\frac{1}{7\ln 7}\approx 0{,}0734.
Isto mostra que a reta tangente em x=1 é mais inclinada do que em x=7: a curva vai ficando “mais suave” à medida que x aumenta.

Passo 7

Concavidade — qual a curvatura da curva?
  • Calculamos a segunda derivada (derivada de p'(x)):
p''(x) = -\frac{1}{x^{2}\ln 7}.
  • Como \ln 7>0 e x^{2}>0, temos p''(x)<0 para todo x>0. Portanto a curva é côncava para baixo em todo o domínio (curva “aberta para baixo”).

Passo 8

Como montar o esboço na folha (passo a passo prático — faz fácil no zero nervoso da prova)
  1. Desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical). Marque x=0 com linha vertical (assíntota).
  2. Marque e pontue os pontos já calculados: (\tfrac{1}{7},-1), (1,0), (7,1), (49,2). Esses pontos dão o “andamento” da curva.
  3. Lembre-se: à esquerda de x=1 os valores de p(x) são negativos e, ao se aproximar de x=0^{+}, p(x)\to -\infty.
  4. À direita de x=1 os valores são positivos e crescentes, subindo lentamente.
  5. Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, com assíntota vertical em x=0, sendo estritamente crescente e sempre côncava para baixo.
    Dica amiga: foque em poucos pontos bem escolhidos e nos comportamentos limites — isso já garante um esboço correto e limpo na prova.

Passo 9

Resumo rápido das características que aparecem no gráfico (para checar na hora):
  • Domínio: (0,\infty).
  • Imagem: (-\infty,\infty).
  • Assíntota vertical: x=0.
  • Pontos notáveis: \left(\tfrac{1}{7},-1\right),\\ (1,0),\\ (7,1),\\ (49,2).
  • Crescimento: função estritamente crescente ( p'(x)=1/(x\ln 7)>0).
  • Concavidade: côncava para baixo ( p''(x)=-1/(x^{2}\ln 7)<0).
  • Comportamento: p(x)\to -\infty quando x\to 0^{+} e p(x)\to\infty quando x\to\infty.

Resposta

Domínio: (0,\infty)
Imagem: (-\infty,\infty)
Assíntota vertical: x=0
Pontos importantes: \left(\tfrac{1}{7},-1\right),\\ (1,0),\\ (7,1),\\ (49,2)
Crescimento: estritamente crescente ( p'(x)=\dfrac{1}{x\ln 7}>0)
Concavidade: côncava para baixo ( p''(x)=-\dfrac{1}{x^{2}\ln 7}<0)
Esboço: curva passando pelos pontos acima, aproximando-se de -\infty quando x\to 0^{+} e subindo lentamente para +\infty quando x\to\infty.

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