Resolva o que se pede:
Faça o gráfico da função
.
Faça o gráfico da função
Passo 1
O enunciado pede: "Faça o gráfico da função
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é desenhar (esboçar) o gráfico dessa função e entender seu comportamento.
Passo 2
Entender o que é
. Aula rápida e prática: por definição
Isto significa que o logaritmo dá o expoente que você deve pôr em
para obter
. Esse vínculo com a exponencial é a chave para obter domínio, imagem e pontos importantes do gráfico sem mistério.
Passo 3
Domínio e imagem (o que dá para colocar em
e o que
pode assumir).
- Pela definição exponencial
só se obtém . Logo o domínio é . - À medida que
varia em todos os reais, varre todo , então o logaritmo assume todos os reais. Logo a imagem é .
Passo 4
Pontos-chave para desenhar (escolha de pontos fáceis usando potências de
).
- Para
: . Então passa por . - Para
: . Então passa por . - Para
: . Então passa por . - Para
: . Então passa por .
Esses pontos são perfeitos porque decorrem diretamente de.
Passo 5
Assíntota e limites (comportamento perto de
e
).
- Quando
(aproxima-se de zero pela direita), a potência correspondente deve ficar muito negativa para ser pequeno, então
Isto mostra uma assíntota vertical em
.
- Quando
,
mas cresce devagar (a curva sobe sem parar, porém de forma lenta).
Passo 6
Monotonicidade — por que a curva é crescente? (fórmula e explicação passo a passo)
- Usamos mudança de base para relacionar com o logaritmo natural:
. - Derivando (a técnica: derivada de
é , e é constante), obtemos
- Como
no domínio e (porque ), temos para todo do domínio. Logo é estritamente crescente: à medida que aumenta, aumenta. - Para ter uma noção numérica da inclinação:
, então
Isto mostra que a reta tangente em
é mais inclinada do que em
: a curva vai ficando “mais suave” à medida que
aumenta.
Passo 7
Concavidade — qual a curvatura da curva?
- Calculamos a segunda derivada (derivada de
):
- Como
e , temos para todo . Portanto a curva é côncava para baixo em todo o domínio (curva “aberta para baixo”).
Passo 8
Como montar o esboço na folha (passo a passo prático — faz fácil no zero nervoso da prova)
- Desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical). Marque com linha vertical (assíntota). - Marque e pontue os pontos já calculados:
, , , . Esses pontos dão o “andamento” da curva. - Lembre-se: à esquerda de
os valores de são negativos e, ao se aproximar de , . - À direita de
os valores são positivos e crescentes, subindo lentamente. - Desenhe uma curva suave que passe por esses pontos, com assíntota vertical em
, sendo estritamente crescente e sempre côncava para baixo.
Dica amiga: foque em poucos pontos bem escolhidos e nos comportamentos limites — isso já garante um esboço correto e limpo na prova.
Passo 9
Resumo rápido das características que aparecem no gráfico (para checar na hora):
- Domínio:
. - Imagem:
. - Assíntota vertical:
. - Pontos notáveis:
. - Crescimento: função estritamente crescente (
). - Concavidade: côncava para baixo (
). - Comportamento:
quando e quando .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Assíntota vertical:
Pontos importantes:
Crescimento: estritamente crescente ( )
Concavidade: côncava para baixo ( )
Esboço: curva passando pelos pontos acima, aproximando-se de quando
e subindo lentamente para
quando
.
Imagem:
Assíntota vertical:
Pontos importantes:
Crescimento: estritamente crescente (
Concavidade: côncava para baixo (
Esboço: curva passando pelos pontos acima, aproximando-se de