O produto RC, representado pela letra grega \tau, é chamado de constante de tempo do circuito RC. No descarregamento, calcule que porcentagem de carga o capacitor atinge, quando o instante t é igual à constante de tempo.

Passo 1

O enunciado pede: “No descarregamento, calcule que porcentagem de carga o capacitor atinge, quando o instante t é igual à constante de tempo.”
Informações dadas e o que sabemos do enunciado:
  • A constante de tempo do circuito RC é \tau, definida por \tau = RC.
  • O circuito está em processo de descarregamento do capacitor (ou seja, sem fonte externa).
  • Queremos a fração (ou porcentagem) da carga inicial do capacitor que ainda permanece em t=\tau.
    Nada mais é fornecido; vamos usar as relações básicas do descarregamento de um capacitor.

Passo 2

Entendendo as variáveis e sinais (passo didático para não se perder na resposta):
  • Seja Q(t) a carga no capacitor no instante t.
  • Seja Q_0 a carga inicial do capacitor no instante t=0.
  • Seja i(t) a corrente no circuito durante o descarregamento. Como a carga do capacitor diminui, a corrente ligada à variação da carga satisfaz
i(t) = -\frac{dQ(t)}{dt}.
Expliquei: o sinal negativo aparece porque quando Q diminui com o tempo, dQ/dt é negativo, e a corrente no resistor é positiva no sentido da descarga.

Passo 3

Equação de circuito (Lei de Kirchhoff / relações elemento a elemento):
  • A tensão no capacitor é V_C(t)=\dfrac{Q(t)}{C}.
  • A tensão no resistor é V_R(t)=i(t)R.
    Na malha do circuito durante a descarga não há fonte, logo pela soma algébrica das tensões:
V_R(t)+V_C(t)=0.
Substituindo V_R e V_C e usando i(t)=-\dfrac{dQ}{dt}, obtemos a equação diferencial que rege o descarregamento:
R\left(-\frac{dQ(t)}{dt}\right)+\frac{Q(t)}{C}=0.
Simplificando:
\frac{dQ(t)}{dt} = -\frac{1}{RC}\,Q(t).

Passo 4

Resolver a equação diferencial (separação de variáveis) e interpretar constantes:
A equação é linear e separável. Separe variáveis e integre:
\frac{dQ}{Q} = -\frac{dt}{RC}.
Integrando de 0 até t e de Q_0 até Q(t):
\int_{Q_0}^{Q(t)}\frac{dQ'}{Q'} = -\int_0^{t}\frac{dt'}{RC}.
Isso dá
\ln\!\left(\frac{Q(t)}{Q_0}\right) = -\frac{t}{RC}.
Exponenciando ambos os lados:
Q(t) = Q_0\,\exp\!\left(-\frac{t}{RC}\right).
Agora lembramos da definição \tau = RC, então a solução fica mais compacta:
Q(t) = Q_0\,e^{-t/\tau}.
Expliquei: Q(t) decai exponencialmente com constante de tempo \tau. Após tempo \tau a carga caiu por um fator e^{-1}.

Passo 5

Avaliar em t=\tau:
Substitua t=\tau na expressão de Q(t):
Q(\tau) = Q_0\,e^{-\tau/\tau} = Q_0\,e^{-1}.
Portanto a fração da carga inicial que permanece é e^{-1}.

Passo 6

Converter fração em porcentagem e dar valor numérico prático:
  • A constante e vale aproximadamente e\approx 2{,}71828.
  • Assim e^{-1}=\dfrac{1}{e}\approx 0{,}367879.
    Em porcentagem:
\text{Porcentagem} = 100\cdot e^{-1}\approx 100\cdot 0{,}367879 \approx 36{,}79\%.
Interpretação rápida e dica de prova: após um tempo igual a \tau o capacitor ainda tem cerca de 36{,}8\% da carga inicial; por outro lado já perdeu cerca de 63{,}2\%. Para lembrar: 1\tau → ~37%, 2\tau → ~14%, 3\tau → ~5% (útil para estimativas rápidas sem calculadora).

Resposta

\;36{,}79\%\;

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