O produto RC, representado pela letra grega
, é chamado de constante de tempo do circuito RC. No descarregamento, calcule que porcentagem de carga o capacitor atinge, quando o instante t é igual à constante de tempo.
Passo 1
O enunciado pede: “No descarregamento, calcule que porcentagem de carga o capacitor atinge, quando o instante
é igual à constante de tempo.”
Informações dadas e o que sabemos do enunciado:
Informações dadas e o que sabemos do enunciado:
- A constante de tempo do circuito RC é
, definida por . - O circuito está em processo de descarregamento do capacitor (ou seja, sem fonte externa).
- Queremos a fração (ou porcentagem) da carga inicial do capacitor que ainda permanece em
.
Nada mais é fornecido; vamos usar as relações básicas do descarregamento de um capacitor.
Passo 2
Entendendo as variáveis e sinais (passo didático para não se perder na resposta):
- Seja
a carga no capacitor no instante . - Seja
a carga inicial do capacitor no instante . - Seja
a corrente no circuito durante o descarregamento. Como a carga do capacitor diminui, a corrente ligada à variação da carga satisfaz
Expliquei: o sinal negativo aparece porque quando
diminui com o tempo,
é negativo, e a corrente no resistor é positiva no sentido da descarga.
Passo 3
Equação de circuito (Lei de Kirchhoff / relações elemento a elemento):
- A tensão no capacitor é
. - A tensão no resistor é
.
Na malha do circuito durante a descarga não há fonte, logo pela soma algébrica das tensões:
Substituindo
e
e usando
, obtemos a equação diferencial que rege o descarregamento:
Simplificando:
Passo 4
Resolver a equação diferencial (separação de variáveis) e interpretar constantes:
A equação é linear e separável. Separe variáveis e integre:
A equação é linear e separável. Separe variáveis e integre:
Integrando de
até
e de
até
:
Isso dá
Exponenciando ambos os lados:
Agora lembramos da definição
, então a solução fica mais compacta:
Expliquei:
decai exponencialmente com constante de tempo
. Após tempo
a carga caiu por um fator
.
Passo 5
Avaliar em
:
Substitua na expressão de
:
Substitua
Portanto a fração da carga inicial que permanece é
.
Passo 6
Converter fração em porcentagem e dar valor numérico prático:
- A constante
vale aproximadamente . - Assim
.
Em porcentagem:
Interpretação rápida e dica de prova: após um tempo igual a
o capacitor ainda tem cerca de
da carga inicial; por outro lado já perdeu cerca de
. Para lembrar: 1\tau → ~37%, 2\tau → ~14%, 3\tau → ~5% (útil para estimativas rápidas sem calculadora).