(Questão 03) Sendo
o vetor posição, prove que:
a.
b.
c. Como
é irrotacional, deve existir uma função escalar
tal que
Encontre essa função.
a.
b.
c. Como
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição
e pede três coisas:
- (a) Calcular
. - (b) Calcular
. - (c) Mostrar que, por
ser irrotacional, existe uma função escalar tal que , e encontrar essa .
Informações implícitas que vamos usar (estas são as expressões do próprio enunciado):
- Representação cartesiana do vetor posição:
. - O domínio considerado é todo
(não há singularidades).
Passo 2
Definição e cálculo da divergência.
Para um campo vetorial em coordenadas cartesianas, a divergência é definida por
Para um campo vetorial
No nosso caso
, ou seja
,
,
. Calculando as derivadas parciais:
Somando:
Comentário didático rápido: a divergência mede a taxa local de “saída” de um campo; para o campo posição, em cada direção o componente cresce linearmente com a própria coordenada, gerando soma igual a
.
Passo 3
Definição e cálculo do rotacional (curl).
Para em coordenadas cartesianas, o rotacional é
Para
Aplicando a
:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Portanto
Comentário didático: todas as derivadas cruzadas são nulas porque cada componente depende apenas da sua própria coordenada; não há “giro” local do campo.
Passo 4
Existência do potencial escalar
e método para encontrá-lo.
Teorema (versão prática): se um campo vetorial tem
num domínio simplesmente conexo (como
), então
é conservativo, isto é, existe uma função escalar
com
. Aqui já mostramos
e o domínio é
, então tal
existe.
Teorema (versão prática): se um campo vetorial
Para encontrá-la resolvemos o sistema de equações parciais
Integramos a primeira equação em
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
. Agora derivamos essa expressão em relação a
e igualamos à segunda equação:
Logo
. Integramos em
:
com
função apenas de
. Finalmente, derivando em
e usando a terceira equação:
Integramos em
:
onde
é constante real. Juntando tudo:
Verificação rápida (checar na prova): calcular
devolve
ou seja
. Observação final: a constante
não altera o gradiente, logo a
é determinada a menos de uma constante.
Resposta
(a)
(b)
(c)
, onde
é constante.