(Questão 03) Sendo \vec{r} o vetor posição, prove que:
a. \nabla \cdot \vec{r}=3
b. \nabla \times \vec{r}=0
c. Como \vec{r} é irrotacional, deve existir uma função escalar \Phi tal que
\nabla \Phi=\vec{r}
Encontre essa função.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição \vec{r} e pede três coisas:
  • (a) Calcular \nabla\cdot\vec{r}.
  • (b) Calcular \nabla\times\vec{r}.
  • (c) Mostrar que, por \vec{r} ser irrotacional, existe uma função escalar \Phi tal que \nabla\Phi=\vec{r}, e encontrar essa \Phi.
Informações implícitas que vamos usar (estas são as expressões do próprio enunciado):
  • Representação cartesiana do vetor posição: \vec{r}=x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k}.
  • O domínio considerado é todo \mathbb{R}^3 (não há singularidades).

Passo 2

Definição e cálculo da divergência.
Para um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas, a divergência é definida por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.
No nosso caso \vec{r}=(x,y,z), ou seja F_x=x, F_y=y, F_z=z. Calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial y}{\partial y}=1,\qquad \frac{\partial z}{\partial z}=1.
Somando:
\nabla\cdot\vec{r}=1+1+1=3.
Comentário didático rápido: a divergência mede a taxa local de “saída” de um campo; para o campo posição, em cada direção o componente cresce linearmente com a própria coordenada, gerando soma igual a 3.

Passo 3

Definição e cálculo do rotacional (curl).
Para \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) em coordenadas cartesianas, o rotacional é
\displaystyle \nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\hat{\imath}+\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\hat{\jmath}+\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\hat{k}.
Aplicando a \vec{r}=(x,y,z):
  • Componente \hat{\imath}:
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente \hat{\jmath}:
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}=0-0=0.
  • Componente \hat{k}:
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}=0-0=0.
Portanto
\nabla\times\vec{r}=\vec{0}.
Comentário didático: todas as derivadas cruzadas são nulas porque cada componente depende apenas da sua própria coordenada; não há “giro” local do campo.

Passo 4

Existência do potencial escalar \Phi e método para encontrá-lo.
Teorema (versão prática): se um campo vetorial \vec{F} tem \nabla\times\vec{F}=\vec{0} num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^3), então \vec{F} é conservativo, isto é, existe uma função escalar \Phi com \nabla\Phi=\vec{F}. Aqui já mostramos \nabla\times\vec{r}=\vec{0} e o domínio é \mathbb{R}^3, então tal \Phi existe.
Para encontrá-la resolvemos o sistema de equações parciais
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=x,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=y,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial z}=z.
Integramos a primeira equação em x:
\Phi(x,y,z)=\int x\,dx=\frac{1}{2}x^2+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z. Agora derivamos essa expressão em relação a y e igualamos à segunda equação:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{2}x^2+g(y,z)\right)=\frac{\partial g}{\partial y}(y,z)=y.
Logo \frac{\partial g}{\partial y}=y. Integramos em y:
g(y,z)=\int y\,dy=\frac{1}{2}y^2+h(z),
com h(z) função apenas de z. Finalmente, derivando em z e usando a terceira equação:
\frac{\partial \Phi}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+h(z)\right)=h'(z)=z.
Integramos em z:
h(z)=\int z\,dz=\frac{1}{2}z^2+C,
onde C é constante real. Juntando tudo:
\Phi(x,y,z)=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}y^2+\frac{1}{2}z^2+C=\frac{1}{2}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)+C.
Verificação rápida (checar na prova): calcular \nabla\Phi devolve
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=x,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=y,\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial z}=z,
ou seja \nabla\Phi=\vec{r}. Observação final: a constante C não altera o gradiente, logo a \Phi é determinada a menos de uma constante.

Resposta

(a) \nabla\cdot\vec{r}=3
(b) \nabla\times\vec{r}=\vec{0}
(c) \Phi(x,y,z)=\dfrac{1}{2}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr)+C, onde C é constante.

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