1. Um produtor descobre que o custo marginal é de 3 q^{2}-60 q+400 u.m. por unidade, quando q unidades do produto são produzidas. O custo total de produzir as primeiras 2 unidades é de R \ 900,00 . Qual é o custo total de produzir as primeiras 5 unidades? \(O\) custo marginal é a derivada da funçao custo total \(C(q)\). Assim temos \(C^{\prime}(q)=3 q^{2}-\) \(60 q+400\) e portanto \(C(q)\) deve ser a antiderivada (integral) dada por: \(C(q)=\int C^{\prime}(q) d q=\int\left(3 q^{2}-60 q+400\right) d q=q^{3}-30 q^{2}+400 q+k\) Sabendo que para 2 unidades o custo é \(R \\) 900,00\(ou seja,\)C(2)=900\(, podemos encontrar o valor de\)k.
    900=(2)^{3}-30(2)^{2}+400(2)+k \Rightarrow k=212
    Assim, C(q)=q^{3}-30 q^{2}+400 q+212
Agora podemos descobrir o custo de produçao para as primeiras 5 unidades:

Passo 1

O enunciado nos dá o custo marginal
C'(q)=3q^{2}-60q+400
e informa que o custo total até q=2 unidades é C(2)=R\$\,900,00. Queremos achar o custo total C(5). Para isso, vamos antiderivar C'(q) para obter C(q) mais uma constante de integração.

Passo 2

Integramos C'(q):
C(q)=\int\bigl(3q^{2}-60q+400\bigr)\,dq = q^{3}-30q^{2}+400q+k.

Passo 3

Usamos a condição C(2)=900 para achar k. Substituindo q=2:
C(2)=2^{3}-30\cdot2^{2}+400\cdot2+k = 8-120+800+k = 688 + k = 900,
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k = 900 - 688 = 212.

Passo 4

Com k=212, a função custo total é
C(q)=q^{3}-30q^{2}+400q+212.
Para q=5 temos
C(5)=5^{3}-30\cdot5^{2}+400\cdot5+212 = 125 - 750 + 2000 + 212 = 1587.

Resposta

O custo total de produzir as primeiras 5 unidades é R\$\,1587,00.

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