Um produtor descobre que o custo marginal é de 3 q^{2}-60 q+400 u.m. por unidade, quando q unidades do produto são produzidas. O custo total de produzir as primeiras 2 unidades é de R \ 900,00. Qual é o custo total de produzir as primeiras 5 unidades?
\(O\) custo marginal é a derivada da funçao custo total \(C(q)\). Assim temos \(C^{\prime}(q)=3 q^{2}-\) \(60 q+400\) e portanto \(C(q)\) deve ser a antiderivada (integral) dada por:
\(C(q)=\int C^{\prime}(q) d q=\int\left(3 q^{2}-60 q+400\right) d q=q^{3}-30 q^{2}+400 q+k\)
Sabendo que para 2 unidades o custo é \(R \\) 900,00\(ou seja,\)C(2)=900\(, podemos encontrar o valor de\)k. 900=(2)^{3}-30(2)^{2}+400(2)+k \Rightarrow k=212
Assim, C(q)=q^{3}-30 q^{2}+400 q+212
Agora podemos descobrir o custo de produçao para as primeiras 5 unidades:
Passo 1
O enunciado nos dá o custo marginal
C'(q)=3q^{2}-60q+400
e informa que o custo total até q=2 unidades é C(2)=R\$\,900,00. Queremos achar o custo total C(5). Para isso, vamos antiderivar C'(q) para obter C(q) mais uma constante de integração.