1. Estima-se que daqui a x meses a populaçao de uma certa cidade estará variando a uma taxa de 2+6 \sqrt{x} pessoas por mês. A população atual é de 5000. Qual será a população daqui a 9 meses?
Sendo P(x) a população da cidade daqui a x meses. Então a taxa de variação da população em relação ao tempo é a derivada P^{\prime}(x)=2+6 \sqrt{x}.
Logo, a função população P(x), é a integral de P^{\prime}(x).
P(x)=\int(2+6 \sqrt{x}) d x=2 x+4 x^{\frac{3}{2}}+k
Como precisamos determinar k, vamos considerar o fato de que em x=0 a população é de 5000 pessoas.
Logo, 5000=2(0)+4(0)^{\frac{3}{2}}+k \Rightarrow k=5000.
Sendo assim, em 9 meses teremos uma populaçao de P(9)=2(9)+4(27)+5000=5126 pessoas.
16. Um varejista recebe uma encomenda de 10000 kg de arroz, que serão consumidos em um período de 5 meses a uma taxa constante de 2000 kg por mês. Se os custos de armazenamento são de 1 centavo por quilograma por mês, quanto o varejista pagará pelos custos de armazenamento nos próximos 5 meses?
Seja S(t) o custo de armazenamento total (em unidades monetárias (u.m)) durante t meses. Como o arroz é consumido a uma taxa constante de 2000 quilogramas por mês, a
quantidade de arroz no estoque após t meses é de 10000-2000 t. Considerando os custos de armazenamento de 1 centavo por quilograma por mês, a taxa de variação do custo de armazenamento em relação ao tempo é:
\frac{d S}{d t}=( custo por kg )( número de kg )=0.01(10000-2000 t)
Logo,
S(t)=\int(100-20 t) d t=100 t-10 t^{2}+k
Precisamos descobrir a variável k. Como no instante em que o embarque chega (t=0) o custo não existe, então
0=100(0)-10(0)^{2}+k \Rightarrow k=0 \Rightarrow S(t)=100 t-10 t^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá que a taxa de variação da população é
P'(x)=2+6\sqrt{x},
onde x está em meses, e que a população inicial é P(0)=5000. Precisamos encontrar a população em x=9 meses, ou seja, P(9).

Passo 2

Integramos P'(x) para obter P(x):
P(x)=\int\bigl(2+6\sqrt{x}\bigr)\,dx =\int 2\,dx +6\int x^{1/2}\,dx =2x+6\cdot\frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}+k =2x+4x^{3/2}+k.

Passo 3

Usamos a condição inicial P(0)=5000 para determinar k:
5000 = 2\cdot0 +4\cdot0^{3/2}+k \;\Longrightarrow\;k=5000.
Logo
P(x)=2x+4x^{3/2}+5000.

Passo 4

Substituímos x=9 em P(x):
P(9)=2\cdot9+4\cdot9^{3/2}+5000 =18+4\cdot27+5000 =18+108+5000 =5126.

Passo 5

No segundo problema, a encomenda inicial é de 10000 kg de arroz, consumidos a 2000 kg/mês. O custo de armazenagem é de 0{,}01 u.m. por kg por mês. Seja S(t) o custo acumulado em t meses; então
\frac{dS}{dt} =\text{(custo por kg)}\times\text{(kg em estoque)} =0{,}01\bigl(10000-2000t\bigr).

Passo 6

Escrevemos
S'(t)=0{,}01(10000-2000t)=100-20t
e integramos:
S(t)=\int(100-20t)\,dt =100t-10t^2+k.

Passo 7

Como não há custo no instante t=0, temos S(0)=0, logo
0=100\cdot0-10\cdot0^2+k \;\Longrightarrow\;k=0.
Portanto
S(t)=100t-10t^2.

Passo 8

Calculamos o custo total em t=5 meses:
S(5)=100\cdot5-10\cdot5^2 =500-250 =250.

Resposta

O custo de armazenagem nos próximos 5 meses será de 250 u.m.

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