3.8 Integral definida

  1. Uma grande cidade é atingida por uma epidemia de gripe e as pessoas ficam doentes a uma taxa de 270 t-9 t^{2} pessoas por dia. Aproximadamente quantas pessoas estarão doentes entre o primeiro e 20^{\circ} dia inclusive?
Seja N o número de pessoas doentes no período.
N=\int_{1}^{20}\left(270 t-9 t^{2}\right) d t=\left[135 t^{2}-3 t^{3}\right]_{1}^{20}=29868 pessoas

Passo 1

O enunciado dá a taxa diária de pessoas ficando doentes
r(t)=270\,t-9\,t^{2}
em que t é o tempo em dias. Queremos o total de pessoas doentes desde o primeiro dia ( t=1) até o vigésimo dia ( t=20), inclusive. Para isso, usaremos o conceito de integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo, encontrando uma primitiva de r(t) e avaliando-a nos limites de integração.

Passo 2

Vamos achar uma primitiva F(t) de r(t). Usando a regra de potência e o fator constante:
\int 270\,t\,dt = 270\cdot\frac{t^{2}}{2}=135\,t^{2}, \quad \int (-9\,t^{2})\,dt = -9\cdot\frac{t^{3}}{3} = -3\,t^{3}.
Logo, uma primitiva é
F(t)=135\,t^{2}-3\,t^{3}.

Passo 3

Agora avaliamos F(t) nos limites t=1 e t=20:
F(20)=135\cdot20^{2}-3\cdot20^{3} =135\cdot400-3\cdot8000 =54000-24000 =30000,
F(1)=135\cdot1^{2}-3\cdot1^{3} =135-3 =132.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, o total de pessoas doentes é
N=\int_{1}^{20}\bigl(270\,t-9\,t^{2}\bigr)\,dt =F(20)-F(1) =30000-132 =29868.

Resposta

29868 pessoas estarão doentes entre o primeiro e o vigésimo dia, inclusive.

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