Certo produto é produzido ao custo de cada. O fabricante sabe que se cada unidade desse produto é vendido por cada O fabricante sabe que se cada unidade desse produto é vendido por reais, então serão vendidos reais, então serão vendidos produtos. Qual é o preço que o fabricante deveria cobrar para maximiza o lucro, e qual o lucro máximo associado?

Passo 1

A questão dá o custo de fabricação de cada unidade como R$ 8,00 e diz que, se o preço de venda é 8,00 e diz que, se o preço de venda é reais, a quantidade vendida é reais, a quantidade vendida é . Vamos precisar montar a função lucro, que é receita menos custo, e depois maximizar essa função (conteúdo: otimização de parábola).

Passo 2

A receita R(x) é preço vezes quantidade, ou seja:
R(x)=x, (20 - x)=20x - x^2
O custo total é R$ 8 por unidade vendida, logo
8 por unidade vendida, logo
Assim, o lucro C(x)=8, (20 - x)=160 - 8x é
Assim, o lucro

Passo 3

Para maximizar a função quadrática L(x)=-x^2+28x-160, usamos a fórmula do vértice de uma parábola ax^2+bx+c, onde o máximo ocorre em x=-tfracb2a. Aqui a=-1 e b=28, logo
x^*=-282(-1)=14
Ou seja, o preço que maximiza o lucro é R$ 14,00.

Passo 4

Para encontrar o lucro máximo, avaliamos L(x) em x=14:
L(14)=-14^2+28cdot14-160=-196+392-160=36
Portanto, o lucro máximo é R$ 36,00.

Resposta

O preço ótimo é R$ 14,00 e o lucro máximo associado é R$ 36,00.

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