Certo produto é produzido ao custo de
cada. O fabricante sabe que se cada unidade desse produto é vendido por
reais, então serão vendidos
produtos. Qual é o preço que o fabricante deveria cobrar para maximiza o lucro, e qual o lucro máximo associado?
Passo 1
A questão dá o custo de fabricação de cada unidade como R$ 8,00 e diz que, se o preço de venda é
reais, a quantidade vendida é
. Vamos precisar montar a função lucro, que é receita menos custo, e depois maximizar essa função (conteúdo: otimização de parábola).
Passo 2
A receita
é preço vezes quantidade, ou seja:
O custo total é R$ 8 por unidade vendida, logo
Assim, o lucro
é
Passo 3
Para maximizar a função quadrática
, usamos a fórmula do vértice de uma parábola
, onde o máximo ocorre em
. Aqui
e
, logo
Ou seja, o preço que maximiza o lucro é R$ 14,00.
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, avaliamos
em
:
Portanto, o lucro máximo é R$ 36,00.
Resposta
O preço ótimo é R$ 14,00 e o lucro máximo associado é R$ 36,00.