7- Um professor de Física sentado em sua cadeira que desliza sobre rolamentos sem atrito é empurrado para cima de um plano inclinado. 30,0^{\circ} acima da horizontal. A massa total do professor com sua cadeira é 85,0 \mathrm{~kg}. Ele é empurrado 2,50 \mathrm{~m} ao longo do plano inclinado por um grupo de alunos que juntos exercem uma força horizontal constante de 600 N . O professor possuía uma velocidade de 2,00 \mathrm{~m} / \mathrm{s} na base da rampa. Use o teorema do trabalho energia-cinética para calcular sua velocidade no topo da rampa

Passo 1

O enunciado dá um corpo (professor + cadeira) de massa m=85{,}0\\ \mathrm{kg} que parte da base da rampa com velocidade inicial v_0=2{,}00\\ \mathrm{m/s} e é empurrado ao longo de um plano inclinado de ângulo \theta=30^\circ e comprimento d=2{,}50\\ \mathrm{m} por uma força horizontal constante de módulo F=600\\ \mathrm{N}. Como não há atrito, vamos usar o teorema do trabalho–energia-cinética para relacionar as energias cinéticas inicial e final às obras das forças envolvidas (força de empuxo e peso).

Passo 2

Calcular o trabalho da força horizontal. A força faz ângulo de 30^\circ com o deslocamento (que está ao longo da rampa):
W_F = F\,d\cos30^\circ = 600 \times 2{,}50 \times \cos30^\circ = 600 \times 2{,}50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1\,299\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Calcular o trabalho da força peso. O peso realiza trabalho negativo igual a -mgh, onde a altura subida é h = d\sin30^\circ = 2{,}50\times\tfrac12 = 1{,}25\\ \mathrm{m}:
W_P = -m g h = -85{,}0 \times 9{,}8 \times 1{,}25 \approx -1\,041{,}25\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Aplicar o teorema do trabalho–energia-cinética:
\Delta K = W_F + W_P, \quad K_f = K_i + W_F + W_P.
A energia cinética inicial é
K_i = \tfrac12 m v_0^2 = \tfrac12 \times 85{,}0 \times (2{,}00)^2 = 170\\ \mathrm{J}.
O trabalho líquido é
W_{\text{líquido}} = 1\,299 - 1\,041{,}25 = 257{,}75\\ \mathrm{J},í
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K_f = 170 + 257{,}75 = 427{,}75\\ \mathrm{J}.
Desse modo, a velocidade final v satisfaz
\tfrac12 m v^2 = 427{,}75 \;\Longrightarrow\; v = \sqrt{\frac{2 \times 427{,}75}{85{,}0}} \approx 3{,}17\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade do professor no topo da rampa é aproximadamente 3{,}17\\ \mathrm{m/s}.

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