Um professor tem 50 provas para corrigir. O tempo necessário para corrigir cada uma das 50 questões é uma variável aleatória independente com distribuição que possui média de 20 minutos e desvio padrão de 4 minutos. Aproxime a probabilidade de que o professor corrija pelo menos 25 provas nos primeiros 450 minutos de trabalho.
◯ 0,997
◯ 0,994
◯ 0,006
◯ 0,013
◯ 0,003

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O professor tem 50 provas para corrigir.
  • O tempo para corrigir cada prova é uma variável aleatória independente com média \mu=20 minutos e desvio padrão \sigma=4 minutos.
  • O tempo total disponível é 450 minutos.
    O enunciado pede: aproximar a probabilidade de que o professor corrija pelo menos 25 provas nos primeiros 450 minutos de trabalho, isto é, calcular
\mathbb{P}\big(\text{o número de provas corrigidas em }450\text{ min} \ge 25\big).ú

Passo 2

Definir variáveis e reescrever o evento em termos de somas de tempos.
  • Seja X_i o tempo para corrigir a i-ésima prova, com X_i i.i.d., \mathbb{E}[X_i]=\mu=20 e \mathrm{sd}(X_i)=\sigma=4.
  • Defina a soma dos tempos para as primeiras n provas por
S_n = \sum_{i=1}^{n} X_i.
O número de provas corrigidas em 450 minutos é pelo menos 25 exatamente quando o tempo para corrigir as primeiras 25 provas é menor ou igual a 450. Logo o evento desejado é
\{ \text{pelo menos }25\text{ provas em }450\text{ min}\} = \{S_{25} \le 450\}.
(Isto é porque se as primeiras 25 provas forem concluídas até 450 minutos, então já temos pelo menos 25 corrigidas. Não precisamos considerar mais provas pois 25\le50.)

Passo 3

Calcular média e desvio padrão de S_{25}.
  • A média de S_{25} é
\mathbb{E}[S_{25}] = 25\mu = 25\cdot 20 = 500\\ \text{min}.
  • A variância de S_{25} é
\mathrm{Var}(S_{25}) = 25\sigma^{2} = 25\cdot 4^{2} = 25\cdot 16 = 400,
portanto o desvio padrão de S_{25} é
\mathrm{sd}(S_{25}) = \sqrt{400} = 20\\ \text{min}.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Limite Central (CLT) para aproximar a distribuição de S_{25}.
Explicação didática do CLT (curtinha e prática): o CLT diz que, para X_i i.i.d. com média finita e variância finita, a soma S_n tem distribuição aproximada por uma normal quando n é razoavelmente grande. Mais precisamente, a variável padronizada
\frac{S_n - n\mu}{\sqrt{n}\,\sigma}
é aproximadamente \mathcal{N}(0,1) (normal padrão). Aqui n=25 é um valor moderado; usamos o CLT para aproximar S_{25} por uma normal com média 500 e desvio padrão 20.

Passo 5

Padronizar e calcular a probabilidade.
Queremos
\mathbb{P}(S_{25}\le 450).
Padronizando usando média 500 e desvio 20:
\mathbb{P}(S_{25}\le 450) \approx \mathbb{P}\!\left( \frac{S_{25}-500}{20} \le \frac{450-500}{20} \right) = \mathbb{P}\!\left( Z \le -\frac{50}{20} \right) = \mathbb{P}\!\left( Z \le -2{,}5 \right),
onde Z\sim\mathcal{N}(0,1).

Passo 6

Obter o valor da função de distribuição da normal padrão.
  • Pelo uso de tabelas ou memória de valores usuais, \Phi(2{,}5)\approx 0{,}9938, onde \Phi é a CDF da normal padrão.
  • Como \mathbb{P}(Z\le -2{,}5)=1-\mathbb{P}(Z\le 2{,}5)=1-\Phi(2{,}5), temos
\mathbb{P}(Z\le -2{,}5)\approx 1-0{,}9938 = 0{,}0062.
Arredondando de acordo com as opções fornecidas, isso corresponde a 0{,}006.

Passo 7

Interpretação e escolha entre as alternativas.
  • A probabilidade aproximada de que o professor corrija pelo menos 25 provas em 450 minutos é \approx 0{,}0062, que corresponde à alternativa 0{,}006.
  • Observação amigável: a média esperada para 25 provas é 500 minutos, portanto terminar 25 em 450 minutos exige uma folga considerável (cerca de 2{,}5 desvios-padrão abaixo da média), por isso a probabilidade é pequena.

Resposta

0,006

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