Um professor tem 50 provas para corrigir. O tempo necessário para corrigir cada uma das 50 questões é uma variável aleatória independente com distribuição que possui média de 20 minutos e desvio padrão de 4 minutos. Aproxime a probabilidade de que o professor corrija pelo menos 25 provas nos primeiros 450 minutos de trabalho.
◯ 0,997
◯ 0,994
◯ 0,006
◯ 0,013
◯ 0,003
◯ 0,997
◯ 0,994
◯ 0,006
◯ 0,013
◯ 0,003
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O professor tem
provas para corrigir. - O tempo para corrigir cada prova é uma variável aleatória independente com média
minutos e desvio padrão minutos. - O tempo total disponível é
minutos.
O enunciado pede: aproximar a probabilidade de que o professor corrija pelo menosprovas nos primeiros minutos de trabalho, isto é, calcular
Passo 2
Definir variáveis e reescrever o evento em termos de somas de tempos.
- Seja
o tempo para corrigir a -ésima prova, com i.i.d., e . - Defina a soma dos tempos para as primeiras
provas por
O número de provas corrigidas em
minutos é pelo menos
exatamente quando o tempo para corrigir as primeiras
provas é menor ou igual a
. Logo o evento desejado é
(Isto é porque se as primeiras
provas forem concluídas até
minutos, então já temos pelo menos
corrigidas. Não precisamos considerar mais provas pois
.)
Passo 3
Calcular média e desvio padrão de
.
- A média de
é
- A variância de
é
portanto o desvio padrão de
é
Passo 4
Aplicar o Teorema do Limite Central (CLT) para aproximar a distribuição de
.
Explicação didática do CLT (curtinha e prática): o CLT diz que, para i.i.d. com média finita e variância finita, a soma
tem distribuição aproximada por uma normal quando
é razoavelmente grande. Mais precisamente, a variável padronizada
Explicação didática do CLT (curtinha e prática): o CLT diz que, para
é aproximadamente
(normal padrão). Aqui
é um valor moderado; usamos o CLT para aproximar
por uma normal com média
e desvio padrão
.
Passo 5
Padronizar e calcular a probabilidade.
Queremos
Queremos
Padronizando usando média
e desvio
:
onde
.
Passo 6
Obter o valor da função de distribuição da normal padrão.
- Pelo uso de tabelas ou memória de valores usuais,
, onde é a CDF da normal padrão. - Como
, temos
Arredondando de acordo com as opções fornecidas, isso corresponde a
.
Passo 7
Interpretação e escolha entre as alternativas.
- A probabilidade aproximada de que o professor corrija pelo menos
provas em minutos é , que corresponde à alternativa . - Observação amigável: a média esperada para
provas é minutos, portanto terminar em minutos exige uma folga considerável (cerca de desvios-padrão abaixo da média), por isso a probabilidade é pequena.
Resposta
0,006