• Qual a profundidade de água ( 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) e do mercúrio ( 13600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) que é requerido para produzir uma pressão de 1 atm?

Passo 1

O enunciado pergunta: qual a profundidade necessária de água e de mercúrio para que a pressão hidrostática no fundo seja igual a \,1\\ \text{atm}?\n
Dados fornecidos:
\rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á (peguei do enunciado),\n
\rho_{\text{mercúrio}} = 13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}ú (peguei do enunciado),\n
pressão desejada \,1\\ \text{atm} = 101325\\ \mathrm{Pa} (valor padrão),\n
não foi dado o valor da aceleração da gravidade, então vou usar o valor usual \,g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}} (assunção comum em exercícios).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar: a pressão hidrostática produzida por uma coluna de fluido de densidade fixa é dada por
p = \rho g h
onde:
\,p é a pressão exercida pelo fluido (em Pascal, \mathrm{Pa}),\n
\,\rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^{3}}),\n
\,g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^{2}}),\n
\,h é a altura (profundidade) da coluna de fluido (em \mathrm{m}).\n
Explicação curta e intuitiva: essa fórmula vem de somar o peso das lâminas infinitesimais de fluido sobre uma área unitária desde a superfície até a profundidade h; o peso por unidade de volume é \rho g, então multiplicando por h obtemos a pressão.

Passo 3

Isolamos a profundidade \,h na fórmula:
h = \frac{p}{\rho g}
Aqui vamos substituir \,p = 101325\\ \mathrm{Pa}, \rho pelo valor do fluido e \,g = 9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 4

Cálculo para a água ( \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}):\n
Calcule o denominador:
\rho g = 1000 \times 9,81 = 9810\\ \mathrm{kg/(m^{2}\,s^{2})} = 9810\\ \mathrm{Pa/m}.
Agora a profundidade:
h_{\text{água}} = \frac{101325}{9810} \approx 10,33\\ \mathrm{m}.á
Interpretação: uma coluna de água de cerca de \,10,33\\ \mathrm{m} produz a pressão de \,1\\ \text{atm} no fundo.

Passo 5

Cálculo para o mercúrio ( \rho = 13600\\ \mathrm{kg/m^{3}}):\n
Calcule o denominador:
\rho g = 13600 \times 9,81 = 133416\\ \mathrm{Pa/m}.
Agora a profundidade:
h_{\text{mercúrio}} = \frac{101325}{133416} \approx 0,759\\ \mathrm{m}.ú
Interpretação: uma coluna de mercúrio de aproximadamente \,0,759\\ \mathrm{m} (cerca de \,76\\ \mathrm{cm}) produz \,1\\ \text{atm}.

Passo 6

Comentário físico e verificação rápida:\n
A razão entre as profundidades é aproximadamente a razão inversa das densidades:
\frac{h_{\text{água}}}{h_{\text{mercúrio}}} \approx \frac{\rho_{\text{mercúrio}}}{\rho_{\text{água}}} = \frac{13600}{1000} = 13{,}6,áúúá
o que bate com os números calculados ( 10{,}33/0{,}759 \approx 13{,}61). Ou seja, por o mercúrio ser \sim 13{,}6 vezes mais denso, precisa-se de \sim 13{,}6 vezes menos altura para alcançar a mesma pressão.

Resposta

\,h_{\text{água}} \approx 10,33\\ \mathrm{m}á\n
\,h_{\text{mercúrio}} \approx 0,759\\ \mathrm{m}ú

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