Um corpo de massa
é abandonado do repouso a partir do topo de uma torre, e cai verticalmente sob a ação da gravidade e de uma força de resistência do ar proporcional à sua velocidade:
onde
é a constante de resistência e
é a velocidade instantânea do corpo. Suponha que o movimento ocorra no eixo vertical
, orientado positivamente para cima e
. (a) Escreva a equação diferencial que rege a velocidade
do corpo durante a queda, (b) determine as expressões de
e
supondo que o corpo parte do repouso, (c) determine o valor limite da velocidade (velocidade terminal) à medida que
, (d) calcule a velocidade e a posição do corpo após
de queda e (e) compare os resultados obtidos com o caso de queda sem resistência do ar.
Passo 1
O enunciado pede as letras (a) a (e). Vou listar cada pedido e os dados fornecidos para não nos perder:
-
Pedidos:
- (a) Escrever a equação diferencial que rege a velocidade
durante a queda. - (b) Determinar as expressões de
, e supondo que o corpo parte do repouso. - (c) Determinar o valor limite da velocidade (velocidade terminal) quando
. - (d) Calcular a velocidade e a posição do corpo após
. - (e) Comparar os resultados obtidos com o caso de queda sem resistência do ar.
- (a) Escrever a equação diferencial que rege a velocidade
-
Dados fornecidos (vou escrevê-los exatamente como estão no enunciado):
- massa do corpo:
, - constante de resistência:
, - força de resistência:
, - eixo vertical
orientado positivamente para cima e durante a queda temos , - o corpo é abandonado do repouso (portanto
). Vou assumir também como referência de altura no topo (se o enunciado não dá outra posição inicial, é o usual).
- massa do corpo:
Observação: toda a teoria e cada passo de cálculo serão explicados nos próximos passos.
Passo 2
Montagem da equação diferencial usando a 2ª lei de Newton (a parte teórica bem mastigada).
-
A 2ª lei de Newton em uma dimensão (eixo
) diz que a soma das forças no eixo é igual a vezes a aceleração: Aquié a velocidade escalar ao longo do eixo (positiva para cima). Importante: todas as grandezas escalares associadas a direção devem respeitar o sinal conforme a orientação escolhida. -
Identificação das forças no problema:
- Peso: vetorialmente
aponta para baixo. Como escolhemos para cima, o componente do peso é . - Força de resistência: dada
. Em escalares, usando o sinal de , fica .
- Peso: vetorialmente
-
Somando as forças (componentes escalares):
-
Aplicando
e dividindo por , obtemos a equação diferencial escalar que rege : Essa é a resposta para (a). Aquié a aceleração da gravidade (vou usar nas contas numéricas).
Passo 3
Resolução da equação diferencial para obter
(método detalhado e didático).
Temos a equação linear de 1ª ordem com coeficientes constantes:
Explico o método do fator integrante (uma técnica padrão para resolver equações lineares
):
- O fator integrante é
. - Multiplicando ambos os lados por
: O lado esquerdo é a derivada do produto , isto é, - Integramos em
: onde é a constante de integração. - Dividindo por
: - Impomos a condição inicial
: - Portanto a solução física (a velocidade) é
Comentário físico rápido: logo após soltar (
) a velocidade é aproximadamente
(pois
), e quando
cresce
e
(velocidade terminal).
Passo 4
Determinação de
(aceleração) e interpretação.
- A aceleração é
. Podemos derivar a expressão encontrada para : Derivando: - Alternativamente, usando a equação diferencial
e substituindo obtém-se a mesma expressão. - Interpretação: no instante
temos (queda inicialmente em queda livre), e à medida que , — a força de resistência equilibra o peso e a aceleração some.
Passo 5
Determinação de
(posição) integrando
, com todos os detalhes.
- Partimos de
. - Integramos em
: Calcule a integral passo a passo: - Logo
onde é constante de integração. Usando : - Portanto a posição, tomando
como referência, é
Observação física:
é negativa para
(o corpo desce). Para pequenos
, essa expressão se aproxima de
(comportamento de queda livre inicial).
Passo 6
Velocidade terminal (limite quando
).
- Da expressão de
, ao tomar temos , logo - Substituindo
e , O sinal negativo indica direção para baixo.
Passo 7
Cálculo numérico para
(detalhando as contas para você poder refazer na prova sem calculadora, mas aqui dou as aproximações finais).
- Primeiro compute
. Valor aproximado: - Velocidade após
:
- Posição após
: Note que e . Então (Ou seja, ao cabo de o corpo caiu abaixo da posição inicial.)
Passo 8
Comparação com a queda sem resistência do ar (passo por passo, com fórmulas e valores numéricos).
- No caso sem resistência do ar (força apenas o peso), as equações são as conhecidas:
- Para
:
- Comparação e conclusões:
- Com resistência do ar, a velocidade em
é em vez de : a resistência diminui muito a velocidade (magnitude menor). - Com resistência do ar, a posição é
em vez de : o corpo cai menos distância no mesmo tempo por causa da força de arrasto. - Sem resistência a velocidade aumenta ilimitadamente em módulo (
), enquanto com resistência ela tende a uma velocidade terminal finita .
- Com resistência do ar, a velocidade em
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Sem resistência:
. Em
:
Comparação: com resistência a velocidade e a distância percorrida são consideravelmente menores; com resistência a velocidade tende a uma velocidade terminal finita
, enquanto sem resistência o módulo da velocidade cresce indefinidamente com o tempo.