Um corpo de massa m=2,0 \mathrm{~kg} é abandonado do repouso a partir do topo de uma torre, e cai verticalmente sob a ação da gravidade e de uma força de resistência do ar proporcional à sua velocidade:
\vec{f}_{r}=-m k \vec{v},
onde k=0,5 \mathrm{~s}^{-1} é a constante de resistência e \vec{v} é a velocidade instantânea do corpo. Suponha que o movimento ocorra no eixo vertical y, orientado positivamente para cima e v<0. (a) Escreva a equação diferencial que rege a velocidade v(t) do corpo durante a queda, (b) determine as expressões de v(t), y(t) e a(t) supondo que o corpo parte do repouso, (c) determine o valor limite da velocidade (velocidade terminal) à medida que t \rightarrow \infty, (d) calcule a velocidade e a posição do corpo após 3,0 \mathrm{~s} de queda e (e) compare os resultados obtidos com o caso de queda sem resistência do ar.

Passo 1

O enunciado pede as letras (a) a (e). Vou listar cada pedido e os dados fornecidos para não nos perder:
  • Pedidos:
    • (a) Escrever a equação diferencial que rege a velocidade v(t) durante a queda.
    • (b) Determinar as expressões de v(t), y(t) e a(t) supondo que o corpo parte do repouso.
    • (c) Determinar o valor limite da velocidade (velocidade terminal) quando t\to\infty.
    • (d) Calcular a velocidade e a posição do corpo após 3{,}0\\ \mathrm{s}.
    • (e) Comparar os resultados obtidos com o caso de queda sem resistência do ar.
  • Dados fornecidos (vou escrevê-los exatamente como estão no enunciado):
    • massa do corpo: m=2{,}0\\ \mathrm{kg},
    • constante de resistência: k=0{,}5\\ \mathrm{s}^{-1},
    • força de resistência: \vec{f}_{r}=-m k \vec{v},
    • eixo vertical y orientado positivamente para cima e durante a queda temos v<0,
    • o corpo é abandonado do repouso (portanto v(0)=0). Vou assumir também y(0)=0 como referência de altura no topo (se o enunciado não dá outra posição inicial, é o usual).
Observação: toda a teoria e cada passo de cálculo serão explicados nos próximos passos.

Passo 2

Montagem da equação diferencial usando a 2ª lei de Newton (a parte teórica bem mastigada).
  • A 2ª lei de Newton em uma dimensão (eixo y) diz que a soma das forças no eixo y é igual a m vezes a aceleração:
    \sum F_y = m a_y = m \frac{dv}{dt}.
    Aqui v(t) é a velocidade escalar ao longo do eixo y (positiva para cima). Importante: todas as grandezas escalares associadas a direção devem respeitar o sinal conforme a orientação escolhida.
  • Identificação das forças no problema:
    • Peso: vetorialmente \vec{P} = m\vec{g} aponta para baixo. Como escolhemos +y para cima, o componente do peso é -m g.
    • Força de resistência: dada \vec{f}_{r}=-m k \vec{v}. Em escalares, usando o sinal de v, fica f_r = - m k v.
  • Somando as forças (componentes escalares):
    \sum F_y = -m g + (-m k v) = -m g - m k v.
  • Aplicando \sum F_y = m \, dv/dt e dividindo por m, obtemos a equação diferencial escalar que rege v(t):
    \frac{dv}{dt} = -g - k v.
    Essa é a resposta para (a). Aqui \,g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} nas contas numéricas).

Passo 3

Resolução da equação diferencial para obter v(t) (método detalhado e didático).
Temos a equação linear de 1ª ordem com coeficientes constantes:
\frac{dv}{dt} + k v = -g.
Explico o método do fator integrante (uma técnica padrão para resolver equações lineares v'+p(t)v=q(t)):
  • O fator integrante é \mu(t)=e^{\int k\,dt}=e^{k t}.
  • Multiplicando ambos os lados por \mu(t): e^{k t}\frac{dv}{dt} + k e^{k t} v = -g e^{k t}.O lado esquerdo é a derivada do produto e^{k t} v, isto é, \frac{d}{dt}\big(e^{k t} v\big) = -g e^{k t}.
  • Integramos em t: e^{k t} v(t) = -g \int e^{k t} dt + C = -g \frac{e^{k t}}{k} + C,onde C é a constante de integração.
  • Dividindo por e^{k t}: v(t) = -\frac{g}{k} + C e^{-k t}.
  • Impomos a condição inicial v(0)=0: 0 = -\frac{g}{k} + C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{g}{k}.
  • Portanto a solução física (a velocidade) é v(t) = -\frac{g}{k}\Big(1 - e^{-k t}\Big).
Comentário físico rápido: logo após soltar ( t\approx 0) a velocidade é aproximadamente -g t (pois e^{-k t}\approx 1-kt), e quando t cresce e^{-k t}\to 0 e v\to -g/k (velocidade terminal).

Passo 4

Determinação de a(t) (aceleração) e interpretação.
  • A aceleração é a(t)=dv/dt. Podemos derivar a expressão encontrada para v(t): v(t) = -\frac{g}{k}\big(1-e^{-k t}\big).Derivando: a(t)=\frac{dv}{dt} = -\frac{g}{k}\cdot\big(0 -(-k)e^{-k t}\big) = -g e^{-k t}.
  • Alternativamente, usando a equação diferencial \frac{dv}{dt}=-g-kv e substituindo v(t) obtém-se a mesma expressão.
  • Interpretação: no instante t=0 temos a(0)=-g (queda inicialmente em queda livre), e à medida que t\to\infty, a(t)\to 0 — a força de resistência equilibra o peso e a aceleração some.

Passo 5

Determinação de y(t) (posição) integrando v(t), com todos os detalhes.
  • Partimos de v(t)=dy/dt = -\dfrac{g}{k}\big(1-e^{-k t}\big).
  • Integramos em t: y(t)=\int v(t)\,dt = -\frac{g}{k}\int\big(1-e^{-k t}\big)dt.Calcule a integral passo a passo: \int\big(1-e^{-k t}\big)dt = \int 1\,dt - \int e^{-k t} dt = t -\big(-\frac{1}{k}e^{-k t}\big) = t + \frac{1}{k}e^{-k t}.
  • Logo y(t) = -\frac{g}{k}\Big(t + \frac{1}{k} e^{-k t}\Big) + C',onde C' é constante de integração. Usando y(0)=0: 0 = -\frac{g}{k}\Big(0 + \frac{1}{k}\Big) + C' \quad\Rightarrow\quad C'=\frac{g}{k^2}.
  • Portanto a posição, tomando y(0)=0 como referência, é y(t)= -\frac{g}{k}t + \frac{g}{k^2}\big(1-e^{-k t}\big).
Observação física: y(t) é negativa para t>0 (o corpo desce). Para pequenos t, essa expressão se aproxima de -\tfrac{1}{2}g t^2 (comportamento de queda livre inicial).

Passo 6

Velocidade terminal (limite quando t\to\infty).
  • Da expressão de v(t), v(t) = -\frac{g}{k}\big(1-e^{-k t}\big),ao tomar t\to\infty temos e^{-k t}\to 0, logo v_{\text{term}} = -\frac{g}{k}.
  • Substituindo g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e k=0{,}5\\ \mathrm{s^{-1}}, v_{\text{term}} = -\frac{9{,}8}{0{,}5} = -19{,}6\\ \mathrm{m/s}.O sinal negativo indica direção para baixo.

Passo 7

Cálculo numérico para t=3{,}0\\ \mathrm{s} (detalhando as contas para você poder refazer na prova sem calculadora, mas aqui dou as aproximações finais).
  • Primeiro compute e^{-k t}=e^{-0{,}5\cdot 3}=e^{-1{,}5}. Valor aproximado: e^{-1{,}5}\approx 0{,}22313.
  • Velocidade após 3{,}0\\ \mathrm{s}: v(3) = -\frac{g}{k}\big(1-e^{-k\cdot 3}\big) = -19{,}6\big(1-e^{-1{,}5}\big)
1-e^{-1{,}5}\approx 0{,}77687\quad\Rightarrow\quad v(3)\approx -19{,}6\times 0{,}77687 \approx -15{,}23\\ \mathrm{m/s}.
  • Posição após 3{,}0\\ \mathrm{s}: y(3) = -\frac{g}{k}\cdot 3 + \frac{g}{k^2}\big(1-e^{-1{,}5}\big).Note que \dfrac{g}{k}=19{,}6 e \dfrac{g}{k^2}=\dfrac{9{,}8}{0{,}25}=39{,}2. Então y(3) = -19{,}6\times 3 + 39{,}2\times 0{,}77687 \approx -58{,}8 + 30{,}45 \approx -28{,}35\\ \mathrm{m}.(Ou seja, ao cabo de 3{,}0\\ \mathrm{s} o corpo caiu 28{,}35\\ \mathrm{m} abaixo da posição inicial.)

Passo 8

Comparação com a queda sem resistência do ar (passo por passo, com fórmulas e valores numéricos).
  • No caso sem resistência do ar (força apenas o peso), as equações são as conhecidas: v_{\text{livre}}(t)=-g t,\qquad y_{\text{livre}}(t)=-\frac{1}{2}g t^2,\qquad a_{\text{livre}}(t)=-g.
  • Para t=3{,}0\\ \mathrm{s}: v_{\text{livre}}(3)=-9{,}8\times 3 = -29{,}4\\ \mathrm{m/s},
y_{\text{livre}}(3)=-\tfrac{1}{2}\cdot 9{,}8 \cdot 3^2 = -44{,}1\\ \mathrm{m}.
  • Comparação e conclusões:
    • Com resistência do ar, a velocidade em 3\\ \mathrm{s} é -15{,}23\\ \mathrm{m/s} em vez de -29{,}4\\ \mathrm{m/s}: a resistência diminui muito a velocidade (magnitude menor).
    • Com resistência do ar, a posição é -28{,}35\\ \mathrm{m} em vez de -44{,}1\\ \mathrm{m}: o corpo cai menos distância no mesmo tempo por causa da força de arrasto.
    • Sem resistência a velocidade aumenta ilimitadamente em módulo ( |v|\propto t), enquanto com resistência ela tende a uma velocidade terminal finita |v_{\text{term}}|=g/k.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dv}{dt}=-g-kv.
(b) \displaystyle v(t)=-\frac{g}{k}\big(1-e^{-k t}\big),\quad y(t)=-\frac{g}{k}t+\frac{g}{k^{2}}\big(1-e^{-k t}\big),\quad a(t)=-g e^{-k t}.
(c) \displaystyle v_{\text{term}}=-\frac{g}{k}=-\frac{9{,}8}{0{,}5}=-19{,}6\\ \mathrm{m/s}.
(d) \displaystyle v(3{,}0\\ \mathrm{s})\approx -15{,}23\\ \mathrm{m/s},\quad y(3{,}0\\ \mathrm{s})\approx -28{,}35\\ \mathrm{m}.
(e) Sem resistência: \displaystyle v_{\text{livre}}(t)=-gt,\;y_{\text{livre}}(t)=-\tfrac{1}{2}g t^{2}. Em t=3{,}0\\ \mathrm{s}: \displaystyle v_{\text{livre}}(3)=-29{,}4\\ \mathrm{m/s},\;y_{\text{livre}}(3)=-44{,}1\\ \mathrm{m}. Comparação: com resistência a velocidade e a distância percorrida são consideravelmente menores; com resistência a velocidade tende a uma velocidade terminal finita -19{,}6\\ \mathrm{m/s}, enquanto sem resistência o módulo da velocidade cresce indefinidamente com o tempo.

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