A profundidade limite pode ser determinada pelo método da meia distância tanto para distribuições esféricas e massas pontuais quanto para distribuições lineares de massa. Mostre que, para o caso de uma anomalia tridimensional (causada por massa pontual ou esfera), temos Z<\frac{x_{1 / 2}}{\sqrt{\sqrt[3]{4}-1}} e para uma anomalia bidimensional (causada por distribuição linear infinita de massa), temos z<x_{1 / 2}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método da meia-distância, que consiste em medir x_{1/2}, a distância horizontal a que a anomalia gravitacional cai à metade de seu valor máximo g_0. Queremos mostrar duas coisas:
– Para uma anomalia tridimensional (ponto ou esfera),
Z < \frac{x_{1/2}}{\sqrt[3]{4}-1}\,.
– Para uma anomalia bidimensional (linha infinita),
Z < x_{1/2}\,.
Vamos precisar das fórmulas clássicas de g_z(x) para cada caso e resolver a condição
g_z(x_{1/2}) = \frac{g_0}{2}\,.

Passo 2

Anomalia tridimensional
Para uma massa pontual (ou esfera homogênea pequena) localizada a profundidade Z e com massa m, a componente vertical da aceleração gravitacional na superfície, a uma distância horizontal x, é
g_z(x) \;=\; G\,m\,\frac{Z}{\bigl(x^2+Z^2\bigr)^{3/2}}\,.
No ponto diretamente acima x=0, o máximo é
g_0 = g_z(0) = G\,m\,\frac{Z}{Z^3} = \frac{G\,m}{Z^2}\,.
Em x=x_{1/2} exige-se
g_z(x_{1/2}) = \frac{g_0}{2} \;\Longrightarrow\; G\,m\,\frac{Z}{\bigl(x_{1/2}^2+Z^2\bigr)^{3/2}} = \frac{1}{2}\,\frac{G\,m}{Z^2}\,.
Cancelando G\,m e rearranjando, vem
\frac{Z}{\bigl(x_{1/2}^2+Z^2\bigr)^{3/2}} = \frac{1}{2Z^2} \;\Longrightarrow\; 2\,Z^3 = \bigl(x_{1/2}^2+Z^2\bigr)^{3/2}\,.

Passo 3

Elevando ambos os lados à potência 2/3
(2\,Z^3)^{2/3} = x_{1/2}^2 + Z^2 \;\Longrightarrow\; 2^{2/3}\,Z^2 = x_{1/2}^2 + Z^2 \;\Longrightarrow\; x_{1/2}^2 = \bigl(2^{2/3}-1\bigr)\,Z^2\,.
Como 2^{2/3} = (\sqrt[3]{2})^2 = \sqrt[3]{4}, obtemos
x_{1/2} = Z\,\sqrt{\sqrt[3]{4}-1} \quad\Longrightarrow\quad Z = \frac{x_{1/2}}{\sqrt{\sqrt[3]{4}-1}}\,.

Passo 4

Note que \sqrt[3]{4}-1 está entre 0 e 1, portanto
\sqrt{\sqrt[3]{4}-1} \;>\;\sqrt[3]{4}-1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{\sqrt[3]{4}-1}} \;<\;\frac{1}{\sqrt[3]{4}-1}\,.
Assim concluímos
Z = \frac{x_{1/2}}{\sqrt{\sqrt[3]{4}-1}} < \frac{x_{1/2}}{\sqrt[3]{4}-1}\,.

Passo 5

Anomalia bidimensional
Para uma distribuição linear infinita de massa por comprimento \lambda a profundidade Z, a componente vertical é
g_z(x) = 2\,G\,\lambda\,\frac{Z}{x^2+Z^2}\,.
No ponto x=0 temos
g_0 = g_z(0) = 2\,G\,\lambda\,\frac{Z}{Z^2} = \frac{2\,G\,\lambda}{Z}\,.
Exigindo g_z(x_{1/2})=g_0/2
2\,G\,\lambda\,\frac{Z}{x_{1/2}^2+Z^2} = \frac{1}{2}\,\frac{2\,G\,\lambda}{Z} \;\Longrightarrow\; 2\,Z^2 = x_{1/2}^2 + Z^2 \;\Longrightarrow\; x_{1/2}^2 = Z^2 \;\Longrightarrow\; Z = x_{1/2}\,.

Passo 6

Na prática, qualquer extensão finita da linha faz com que a meia-distância fique um pouco maior, o que só diminui a profundidade real. Por isso escreve-se em forma de limite superior
Z < x_{1/2}\,.

Resposta

Para anomalia tridimensional:
Z < \frac{x_{1/2}}{\sqrt[3]{4}-1}\,.
Para anomalia bidimensional:
Z < x_{1/2}\,.

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