A profundidade limite pode ser determinada pelo método da meia distância tanto para distribuições esféricas e massas pontuais quanto para distribuições lineares de massa. Mostre que, para o caso de uma anomalia tridimensional (causada por massa pontual ou esfera), temos
e para uma anomalia bidimensional (causada por distribuição linear infinita de massa), temos
.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método da meia-distância, que consiste em medir
, a distância horizontal a que a anomalia gravitacional cai à metade de seu valor máximo
. Queremos mostrar duas coisas:
– Para uma anomalia tridimensional (ponto ou esfera),
– Para uma anomalia tridimensional (ponto ou esfera),
– Para uma anomalia bidimensional (linha infinita),
Vamos precisar das fórmulas clássicas de
para cada caso e resolver a condição
Passo 2
Anomalia tridimensional
Para uma massa pontual (ou esfera homogênea pequena) localizada a profundidade e com massa
, a componente vertical da aceleração gravitacional na superfície, a uma distância horizontal
, é
Para uma massa pontual (ou esfera homogênea pequena) localizada a profundidade
No ponto diretamente acima
, o máximo é
Em
exige-se
Cancelando
e rearranjando, vem
Passo 3
Elevando ambos os lados à potência
dá
Como
, obtemos
Passo 4
Note que
está entre 0 e 1, portanto
Assim concluímos
Passo 5
Anomalia bidimensional
Para uma distribuição linear infinita de massa por comprimento a profundidade
, a componente vertical é
Para uma distribuição linear infinita de massa por comprimento
No ponto
temos
Exigindo
dá
Passo 6
Na prática, qualquer extensão finita da linha faz com que a meia-distância fique um pouco maior, o que só diminui a profundidade real. Por isso escreve-se em forma de limite superior
Resposta
Para anomalia tridimensional:
Para anomalia bidimensional: