Mostre que, no caso de uma anomalia bidimensional, a profundidade limite obtida utilizando um método de segunda derivada nula é dada por z<\sqrt{3} \cdot x_{0}, onde x_{0} é a posição de nulo na segunda derivada horizontal de g_{z}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em uma anomalia bidimensional, se identificamos na curva da gravidade horizontal g_{z}(x) o ponto x_{0} onde a segunda derivada em relação a x se anula, então a profundidade z da fonte satisfaz
z < \sqrt{3}\;x_{0}.
O conteúdo necessário envolve a expressão analítica de g_{z}(x) para uma fonte bidimensional (linha de massa) a profundidade z e o cálculo de suas derivadas em x.

Passo 2

Para uma linha de massa bidimensional de densidade linear \Delta m' situada a profundidade z, a anomalia gravitacional horizontal medida na superfície é proporcional a
g_{z}(x) \;=\; 2\,G\,\Delta m'\;\frac{z}{x^{2}+z^{2}},
onde G é a constante gravitacional. Note que o fator 2G\,\Delta m' é constante em x, então para nossa análise podemos definir
A = 2\,G\,\Delta m',
e escrever
g_{z}(x) = A\,\frac{z}{x^{2}+z^{2}}.

Passo 3

Calculamos a primeira derivada de g_{z}(x) em relação a x. Usando a regra do quociente:
g_{z}'(x) = A\,\frac{\,0\cdot(x^{2}+z^{2}) - z\cdot 2x\,}{(x^{2}+z^{2})^{2}} = -\,2A\,\frac{z\,x}{(x^{2}+z^{2})^{2}}.
Em seguida, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
g_{z}''(x) = -2A\,\frac{(x^{2}+z^{2})^{2}\cdot z - z\,x\cdot 2\,(x^{2}+z^{2})\cdot 2x}{(x^{2}+z^{2})^{4}}.
Simplificando o numerador:
(x^{2}+z^{2})^{2}\,z \;-\;4\,z\,x^{2}\,(x^{2}+z^{2}) = z\,(x^{2}+z^{2})\bigl[(x^{2}+z^{2}) - 4x^{2}\bigr] = z\,(x^{2}+z^{2})\,(z^{2} - 3x^{2}).
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g_{z}''(x) = -2A\,\frac{z\,(x^{2}+z^{2})\,(z^{2}-3x^{2})}{(x^{2}+z^{2})^{4}} = -2A\,z\,\frac{z^{2}-3x^{2}}{(x^{2}+z^{2})^{3}}.

Passo 4

A condição de nulidade da segunda derivada em x=x_{0} é
g_{z}''(x_{0}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2} - 3\,x_{0}^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x_{0}^{2} = \frac{z^{2}}{3}.
Assim,
x_{0} = \frac{z}{\sqrt{3}}.

Passo 5

Desse resultado isolamos z:
z = \sqrt{3}\;x_{0}.
Como em aplicações práticas a profundidade real fica abaixo da estimativa bruta, concluímos que
z < \sqrt{3}\;x_{0}.

Resposta

z < \sqrt{3}\;x_{0}.

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