Mostre que, no caso de uma anomalia bidimensional, a profundidade limite obtida utilizando um método de segunda derivada nula é dada por
, onde
é a posição de nulo na segunda derivada horizontal de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em uma anomalia bidimensional, se identificamos na curva da gravidade horizontal
o ponto
onde a segunda derivada em relação a
se anula, então a profundidade
da fonte satisfaz
O conteúdo necessário envolve a expressão analítica de
para uma fonte bidimensional (linha de massa) a profundidade
e o cálculo de suas derivadas em
.
Passo 2
Para uma linha de massa bidimensional de densidade linear
situada a profundidade
, a anomalia gravitacional horizontal medida na superfície é proporcional a
onde
é a constante gravitacional. Note que o fator
é constante em
, então para nossa análise podemos definir
e escrever
Passo 3
Calculamos a primeira derivada de
em relação a
. Usando a regra do quociente:
Em seguida, derivamos novamente para obter a segunda derivada:
Simplificando o numerador:
Logo
Passo 4
A condição de nulidade da segunda derivada em
é
Assim,
Passo 5
Desse resultado isolamos
:
Como em aplicações práticas a profundidade real fica abaixo da estimativa bruta, concluímos que