Explique detalhadamente como é possível utilizar a aproximação da Lei de Gauss dada pela equação,
M_{e}=\frac{1}{2 \pi G} \sum_{i=1}^{N} \delta g_{i} \cdot \delta A_{i}
para estimar o excesso de massa de um determinado corpo de rocha ou minério em subsuperfície. Por que o método não funciona bem se a anomalia gravimétrica decair muito lentamente com a distância?

Passo 1

O enunciado pede para estimar o excesso de massa subterrânea a partir de medições de anomalia gravimétrica \delta g ao longo de uma área de superfície. O conteúdo principal é a Lei de Gauss para o campo gravitacional, que relaciona o fluxo do campo à massa contida em um volume. Para resolver, vamos precisar de:
  1. A forma diferencial de Gauss: \nabla\cdot \mathbf{g} = -4\pi G\,\rho.
  2. O Teorema da Divergência (ou Gauss) para converter integral de volume em fluxo de superfície.
  3. A aproximação numérica da integral de superfície pela soma discreta \sum_{i=1}^N \delta g_i\,\delta A_i.

Passo 2

Partimos da Lei de Gauss no vácuo com densidade de massa \rho:
\int_V \nabla\cdot \mathbf{g}\,dV \;=\;\int_S \mathbf{g}\cdot\mathbf{n}\,dS
e, como \nabla\cdot \mathbf{g}=-4\pi G\,\rho, temos
\int_S \mathbf{g}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\;-4\pi G\int_V \rho\,dV \;=\;-4\pi G\,M_{\text{total}}.
Se escolhermos S como uma superfície que envolve o corpo e tome­mos apenas o fluxo vertical através de uma planície de base grande (onde \mathbf{n} é vertical), o campo normal à superfície é g_z\approx \delta g. Por simetria e considerando que o fluxo pelas faces laterais pode ser agrupado com o da base inferior, chega-se a
\int_{\text{base}} \delta g\,dA \;=\;-2\pi G\,M_{e}.
Isolando M_{e},
M_{e} \;=\; \frac{1}{2\pi G}\,\int_{\text{base}} \delta g\,dA.

Passo 3

Na prática, medimos \delta g em pontos i=1,\dots,N distribuídos sobre a planície de área dividida em células de área \delta A_i. Substituímos a integral por soma discreta:
\int_{\text{base}} \delta g\,dA \;\approx\; \sum_{i=1}^N \delta g_i\,\delta A_i.
Logo a estimativa fica
M_{e} \;=\; \frac{1}{2\pi G}\,\sum_{i=1}^N \delta g_i\,\delta A_i,
que é exatamente a fórmula fornecida.

Passo 4

Este método exige que a anomalia \delta g seja praticamente nula na borda da área de estudo, pois truncamos o fluxo em uma superfície finita. Se a anomalia decai muito lentamente com a distância (por exemplo, um corpo muito profundo ou muito estendido lateralmente), então:
  1. Os valores de \delta g nas bordas ainda são significativos.
  2. A soma \sum \delta g_i\,\delta A_i fica incompleta, pois não capturamos todo o fluxo que atravessa as faces laterais.
  3. O resultado subestima a massa real, pois o método pressupõe contribuição desprezível fora da área mapeada.

Passo 5

Para amenizar esse problema, deve-se:
  • Estender a malha de medições até onde \delta g seja realmente desprezível.
  • Aplicar correções de nivelamento e filtrar componentes de longo alcance para isolar a anomalia local.
  • Ou empregar modelagem inversa que leve em conta a geometria do corpo.

Resposta

A aproximação baseia-se na Lei de Gauss, transformando a integral de fluxo do campo gravitacional em torno do corpo numa soma discreta de \delta g_i\,\delta A_i multiplicada por 1/(2\pi G). O método fracassa quando a anomalia decai vagarosamente porque então há fluxo significativo nas bordas do levantamento — fluxos esses que não são contabilizados na soma, levando a subestimação da massa.

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