Explique detalhadamente como é possível utilizar a aproximação da Lei de Gauss dada pela equação,
para estimar o excesso de massa de um determinado corpo de rocha ou minério em subsuperfície. Por que o método não funciona bem se a anomalia gravimétrica decair muito lentamente com a distância?
Passo 1
O enunciado pede para estimar o excesso de massa subterrânea a partir de medições de anomalia gravimétrica
ao longo de uma área de superfície. O conteúdo principal é a Lei de Gauss para o campo gravitacional, que relaciona o fluxo do campo à massa contida em um volume. Para resolver, vamos precisar de:
- A forma diferencial de Gauss:
. - O Teorema da Divergência (ou Gauss) para converter integral de volume em fluxo de superfície.
- A aproximação numérica da integral de superfície pela soma discreta
.
Passo 2
Partimos da Lei de Gauss no vácuo com densidade de massa
:
e, como
, temos
Se escolhermos
como uma superfície que envolve o corpo e tomemos apenas o fluxo vertical através de uma planície de base grande (onde
é vertical), o campo normal à superfície é
. Por simetria e considerando que o fluxo pelas faces laterais pode ser agrupado com o da base inferior, chega-se a
Isolando
,
Passo 3
Na prática, medimos
em pontos
distribuídos sobre a planície de área dividida em células de área
. Substituímos a integral por soma discreta:
Logo a estimativa fica
que é exatamente a fórmula fornecida.
Passo 4
Este método exige que a anomalia
seja praticamente nula na borda da área de estudo, pois truncamos o fluxo em uma superfície finita. Se a anomalia decai muito lentamente com a distância (por exemplo, um corpo muito profundo ou muito estendido lateralmente), então:
- Os valores de
nas bordas ainda são significativos. - A soma
fica incompleta, pois não capturamos todo o fluxo que atravessa as faces laterais. - O resultado subestima a massa real, pois o método pressupõe contribuição desprezível fora da área mapeada.
Passo 5
Para amenizar esse problema, deve-se:
- Estender a malha de medições até onde
seja realmente desprezível. - Aplicar correções de nivelamento e filtrar componentes de longo alcance para isolar a anomalia local.
- Ou empregar modelagem inversa que leve em conta a geometria do corpo.
Resposta
A aproximação baseia-se na Lei de Gauss, transformando a integral de fluxo do campo gravitacional em torno do corpo numa soma discreta de
multiplicada por
. O método fracassa quando a anomalia decai vagarosamente porque então há fluxo significativo nas bordas do levantamento — fluxos esses que não são contabilizados na soma, levando a subestimação da massa.