Um programa governamental, que custa atualmente \mathrm{R} \ 1,8 bilhões ao ano, vai sofrer um corte em seu orçamento em relação à verba original deõççãà15 %$ ao ano.
a) Expresse a quantia orçada para esse programa após n anos.
b) Calcule os orçamentos para os quatro primeiros anos.
c) Determine se a sequência de orçamentos com esse corte converge ou diverge.
Se ela convergir, calcule o seu limite.

Passo 1

O enunciado diz que atualmente o programa custa \mathrm{R}\$\,1,8 bilhões por ano e que ele sofrerá um corte de 15\% ao ano. Precisamos responder três coisas:
  1. (a) Expressar a quantia orçada após n anos.
  2. (b) Calcular os orçamentos para os quatro primeiros anos.
  3. (c) Determinar se a sequência de orçamentos converge ou diverge; se convergir, achar o limite.
Informações relevantes que temos:
  • Valor inicial (ano 0): \mathrm{R}\$\,1,8 bilhões.
  • Redução anual: 15\% por ano.
  • Pedido: expressão geral após n anos, valores nos primeiros 4 anos e comportamento quando n\to\infty.

Passo 2

Interpretação do corte e escolha do método (sem complicar): um corte de 15\% “ao ano” significa que a cada ano o orçamento fica com 100\%-15\%=85\% do que era no ano anterior — ou seja, a cada ano multiplicamos por 0,85. Isso gera uma sequência geométrica (progressão geométrica) porque o mesmo fator multiplicativo se aplica a cada passo. Não usamos subtração fixa (progressão aritmética) porque um corte percentual aplica-se ao valor corrente, não a uma parcela fixa da verba.

Passo 3

Definição e fórmula da progressão geométrica (aula curta e prática)
  • Uma progressão geométrica é uma sequência \{a_n\} em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa r.
  • Se o termo inicial (ano 0) é a_0 e a razão é r, então o termo após n passos é dado por
a_n = a_0\cdot r^{n}.
Aqui:
  • a_0 é o orçamento atual, isto é \mathrm{R}\$\,1,8 bilhões (vamos trabalhar só com o número 1,8 e indicar a unidade no final);
  • a razão é r=1-0,15=0,85.
Portanto, substituindo na fórmula:
a_n = 1,8\cdot 0,85^{n},
onde a_n está em \mathrm{R}\$\, bilhões.
Observação prática: podemos também escrever 0,85=\tfrac{17}{20} e 1,8=\tfrac{9}{5}, então uma forma exata é
a_n=\frac{9}{5}\left(\frac{17}{20}\right)^{n}.

Passo 4

Cálculo manual dos quatro primeiros anos — explicando como fazer sem calculadora
  • Ano 0 (atual): a_0=1,8 (já dado).
  • Ano 1: multiplicamos por 0,85.
    Cálculo:
a_1=1,8\cdot 0,85.
Para multiplicar à mão: 1,8\cdot 85 = 1,8\cdot(100-15)=180-27=153 se você trabalhar em centésimos, então 1,53. Logo a_1=1,53.
  • Ano 2: multiplicamos a_1 por 0,85 novamente, ou usamos a fórmula 1,8\cdot 0,85^{2}.
    Cálculo com frações exatas (mais seguro):
a_2=\frac{9}{5}\left(\frac{17}{20}\right)^{2}=\frac{9}{5}\cdot\frac{289}{400}=\frac{9\cdot289}{2000}=\frac{2601}{2000}=1,3005.
(Se preferir decimal direto: 1,53\cdot0,85=1,3005.)
  • Ano 3:
a_3=1,8\cdot 0,85^{3}=a_2\cdot 0,85=1,3005\cdot0,85=1,105425.
(Usando frações: \frac{9}{5}\cdot\frac{17^3}{20^3} dá o mesmo número exato.)
  • Ano 4:
a_4=a_3\cdot0,85=1,105425\cdot0,85=0,93961125.
Dica prática: para calcular cada ano à mão sem muitas casas, você pode multiplicar pela razão 0,85 e cortar casas decimais depois conforme a precisão pedida; aqui eu mantive todas as casas para exatidão.

Passo 5

Convergência da sequência (intuição e demonstração curta)
  • Uma progressão geométrica a_n=a_0 r^{n} converge para 0 quando |r|<1, porque r^{n}\to 0 quando n\to\infty.
  • Aqui r=0,85 e |0,85|<1, então
\lim_{n\to\infty} a_n = 1,8\cdot\lim_{n\to\infty}0,85^{n}=1,8\cdot 0=0.
Interpretação: cortes sucessivos de 15\% vão reduzindo o orçamento, aproximando-o cada vez mais de zero, sem nunca torná-lo exatamente zero em tempo finito.

Passo 6

Resumo final e motivação rápida: a fórmula geral é simples e prática na prova — memorize que “redução de p% ao ano” significa multiplicar por 1-p a cada ano. Você pode calcular termos sucessivos multiplicando pelo fator 0,85 repetidamente; para o comportamento ao infinito, verifique se |r|<1 para concluir convergência para zero. Vai dar tudo certo — respira, resolve passo a passo e confia no processo!

Resposta

a_n = 1,8\cdot 0,85^{n} (em \mathrm{R}\$\, bilhões).
a_1=1,53, a_2=1,3005, a_3=1,105425, a_4=0,93961125 (em \mathrm{R}\$\, bilhões).
A sequência converge e \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0 (em \mathrm{R}\$\, bilhões).

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