Um programa governamental, que custa atualmente
1,8
15 %$ ao ano.
a) Expresse a quantia orçada para esse programa após n anos.
b) Calcule os orçamentos para os quatro primeiros anos.
c) Determine se a sequência de orçamentos com esse corte converge ou diverge.
Se ela convergir, calcule o seu limite.
a) Expresse a quantia orçada para esse programa após n anos.
b) Calcule os orçamentos para os quatro primeiros anos.
c) Determine se a sequência de orçamentos com esse corte converge ou diverge.
Passo 1
O enunciado diz que atualmente o programa custa
bilhões por ano e que ele sofrerá um corte de
ao ano. Precisamos responder três coisas:
- (a) Expressar a quantia orçada após
anos. - (b) Calcular os orçamentos para os quatro primeiros anos.
- (c) Determinar se a sequência de orçamentos converge ou diverge; se convergir, achar o limite.
Informações relevantes que temos:
- Valor inicial (ano 0):
bilhões. - Redução anual:
por ano. - Pedido: expressão geral após
anos, valores nos primeiros 4 anos e comportamento quando .
Passo 2
Interpretação do corte e escolha do método (sem complicar): um corte de
“ao ano” significa que a cada ano o orçamento fica com
do que era no ano anterior — ou seja, a cada ano multiplicamos por
. Isso gera uma sequência geométrica (progressão geométrica) porque o mesmo fator multiplicativo se aplica a cada passo. Não usamos subtração fixa (progressão aritmética) porque um corte percentual aplica-se ao valor corrente, não a uma parcela fixa da verba.
Passo 3
Definição e fórmula da progressão geométrica (aula curta e prática)
- Uma progressão geométrica é uma sequência
em que cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão fixa . - Se o termo inicial (ano
) é e a razão é , então o termo após passos é dado por
Aqui:
-
é o orçamento atual, isto é bilhões (vamos trabalhar só com o número e indicar a unidade no final); - a razão é
.
Portanto, substituindo na fórmula:
onde
está em
bilhões.
Observação prática: podemos também escrever
e
, então uma forma exata é
Passo 4
Cálculo manual dos quatro primeiros anos — explicando como fazer sem calculadora
- Ano 0 (atual):
(já dado). - Ano 1: multiplicamos por
.
Cálculo:
Para multiplicar à mão:
se você trabalhar em centésimos, então
. Logo
.
- Ano 2: multiplicamos
por novamente, ou usamos a fórmula .
Cálculo com frações exatas (mais seguro):
(Se preferir decimal direto:
.)
- Ano 3:
(Usando frações:
dá o mesmo número exato.)
- Ano 4:
Dica prática: para calcular cada ano à mão sem muitas casas, você pode multiplicar pela razão
e cortar casas decimais depois conforme a precisão pedida; aqui eu mantive todas as casas para exatidão.
Passo 5
Convergência da sequência (intuição e demonstração curta)
- Uma progressão geométrica
converge para quando , porque quando . - Aqui
e , então
Interpretação: cortes sucessivos de
vão reduzindo o orçamento, aproximando-o cada vez mais de zero, sem nunca torná-lo exatamente zero em tempo finito.
Passo 6
Resumo final e motivação rápida: a fórmula geral é simples e prática na prova — memorize que “redução de p% ao ano” significa multiplicar por
a cada ano. Você pode calcular termos sucessivos multiplicando pelo fator
repetidamente; para o comportamento ao infinito, verifique se
para concluir convergência para zero. Vai dar tudo certo — respira, resolve passo a passo e confia no processo!
Resposta
A sequência converge e