Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2{n}-1}{3{n}}
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}-1}{3^{n}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também o valor da soma. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada inteiro n\ge 0 o termo é \dfrac{2^{n}-1}{3^{n}}. A nossa tarefa é, então, decidir convergência e, quando convergir, calcular a soma.
Passo 2
Vamos separar a série em duas séries mais simples, usando álgebra de somas (soma de diferenças = diferença de somas). Escrevo o termo geral como soma de duas frações:
Agora lembro a fórmula e a condição de convergência para séries geométricas — aqui vai uma explicação didática e curta, como se eu estivesse te ensinando na prova:
Uma série geométrica é da forma \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}, onde r é a razão. Considere a soma parcial até N:
S_{N}=1+r+r^{2}+\dots+r^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo dá uma expressão simples; o resultado (que você pode decorar e justificar rapidamente) é
Se |r|\ge 1, a série diverge. Em palavras: a série geométrica converge exatamente quando a razão r tem módulo menor que 1, e aí sua soma é \dfrac{1}{1-r}.
Passo 4
Aplique isso à primeira série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}. Aqui a razão é r=\dfrac{2}{3}. Como
\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1,
essa série geométrica converge e sua soma é, pela fórmula,