Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2{n}-1}{3{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}-1}{3^{n}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, pede também o valor da soma. As informações dadas são exatamente os termos gerais da série: para cada inteiro n\ge 0 o termo é \dfrac{2^{n}-1}{3^{n}}. A nossa tarefa é, então, decidir convergência e, quando convergir, calcular a soma.

Passo 2

Vamos separar a série em duas séries mais simples, usando álgebra de somas (soma de diferenças = diferença de somas). Escrevo o termo geral como soma de duas frações:
\frac{2^{n}-1}{3^{n}}=\frac{2^{n}}{3^{n}}-\frac{1}{3^{n}}.
Portanto a série original se decompõe como
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}-1}{3^{n}}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n}}{3^{n}}-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Note que \dfrac{2^{n}}{3^{n}}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n} e \dfrac{1}{3^{n}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}. Assim temos duas séries geométricas:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\quad\text{e}\quad\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.

Passo 3

Agora lembro a fórmula e a condição de convergência para séries geométricas — aqui vai uma explicação didática e curta, como se eu estivesse te ensinando na prova:
Uma série geométrica é da forma \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}, onde r é a razão. Considere a soma parcial até N:
S_{N}=1+r+r^{2}+\dots+r^{N}.
Multiplicando por r e subtraindo dá uma expressão simples; o resultado (que você pode decorar e justificar rapidamente) é
S_{N}=\frac{1-r^{\,N+1}}{1-r}\qquad\text{se }r\neq 1.
Se |r|<1, então r^{\,N+1}\to 0 quando N\to\infty, logo
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\lim_{N\to\infty}S_{N}=\frac{1}{1-r}.
Se |r|\ge 1, a série diverge. Em palavras: a série geométrica converge exatamente quando a razão r tem módulo menor que 1, e aí sua soma é \dfrac{1}{1-r}.

Passo 4

Aplique isso à primeira série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}. Aqui a razão é r=\dfrac{2}{3}. Como
\left|\frac{2}{3}\right|=\frac{2}{3}<1,
essa série geométrica converge e sua soma é, pela fórmula,
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}.

Passo 5

Calculo a expressão do passo anterior. Primeiro manipulo a fração dentro da fórmula:
\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3.
Portanto a primeira série tem soma 3.

Passo 6

Agora a segunda série \sum_{n=0}^{\infty}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n} tem razão r=\dfrac{1}{3}. Como
\left|\frac{1}{3}\right|=\frac{1}{3}<1,
essa também converge e sua soma é
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}.

Passo 7

Calculo a soma da segunda série:
\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}.
Logo a segunda série tem soma \dfrac{3}{2}.

Passo 8

Voltando à decomposição do Passo 2, a série original é a diferença entre as duas somas que encontramos. Então a soma total (quando converge) é
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}-1}{3^{n}}=\;3-\frac{3}{2}.
Faço a subtração em forma de frações com denominador 2:
3-\frac{3}{2}=\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}.
Portanto a série converge e tem soma \dfrac{3}{2}.

Resposta

Converge. \dfrac{3}{2}

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