Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir: \left\{\begin{array}{l}-x-3 y+z=21 \\\\ 5 x+4 y-z=-7\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: classificar o sistema quanto a S\\ I,\\ S\\ P\\ D ou S\\ P\\ I e, quando existir, apresentar o conjunto solução. As equações dadas são:
Breve explicação do que fazemos: escalonamento consiste em usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar a linha com múltiplo de outra) para chegar a uma forma em que é fácil ler relações entre as incógnitas. Se em alguma linha obtivermos uma igualdade do tipo 0x+0y+0z=b com b\neq0, o sistema é impossível. Se não houver contradição e o número de equações independentes for menor que o número de incógnitas, teremos infinitas soluções; se for igual, teremos solução única.]
Passo 3
Faço a operação que elimina z somando as duas linhas (isto equivale a somar as duas equações): (\text{linha }1)+(\text{linha }2).
Somando termo a termo das equações originais obtemos:
Da primeira linha escalonada temos uma relação livre de z:
4x+y=14.
Isolando y,
y=14-4x.
Agora substituo essa expressão em uma das equações originais para encontrar z. Uso a primeira equação original -x-3y+z=21. Substituindo y:
-x-3(14-4x)+z=21.
Agora desenvolvo passo a passo: -3(14-4x) = -42 +12x. Então
-x + (-42+12x) + z = 21.
Agrupando termos em x:
(-x +12x) -42 + z = 21 \quad\Rightarrow\quad 11x -42 + z = 21.
Isolando z,
z = 21 +42 -11x = 63 -11x.
Passo 5
Concluímos que y e z podem ser expressos em função de x. Como temos três incógnitas e apenas duas equações independentes sem contradição, existe um parâmetro livre. Introduzo o parâmetro t para representar x:
Isso significa que há infinitas soluções (uma família de soluções linearmente parametrizada por t). Em termos de classificação: não apareceu nenhuma linha do tipo 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b com b\neq0, logo o sistema não é impossível; e há menos equações independentes do que incógnitas, logo o sistema é possível indeterminado.
Passo 6
Posso escrever o conjunto solução de duas formas equivalentes, por exemplo:
forma paramétrica