Use escalonamento para classificar (quanto a S I, S P D ou S P I ), os sistemas abaixo e apresente o conjunto solução quando existir:
\left\{\begin{array}{l}-x-3 y+z=21 \\\\ 5 x+4 y-z=-7\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: classificar o sistema quanto a S\\ I,\\ S\\ P\\ D ou S\\ P\\ I e, quando existir, apresentar o conjunto solução. As equações dadas são:
\begin{cases} -x-3y+z=21\\[4pt] 5x+4y-z=-7 \end{cases}
Informações importantes que o enunciado dá:
\text{duas equações lineares em três incógnitas }x,y,z.çõêó]

Passo 2

Vou transformar o sistema em forma matricial aumentada para aplicar escalonamento (eliminação). A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{ccc|c} -1 & -3 & 1 & 21\\[4pt] 5 & 4 & -1 & -7 \end{array}\right].
Breve explicação do que fazemos: escalonamento consiste em usar operações elementares nas linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por número não nulo, somar a linha com múltiplo de outra) para chegar a uma forma em que é fácil ler relações entre as incógnitas. Se em alguma linha obtivermos uma igualdade do tipo 0x+0y+0z=b com b\neq0, o sistema é impossível. Se não houver contradição e o número de equações independentes for menor que o número de incógnitas, teremos infinitas soluções; se for igual, teremos solução única.]

Passo 3

Faço a operação que elimina z somando as duas linhas (isto equivale a somar as duas equações): (\text{linha }1)+(\text{linha }2).
Somando termo a termo das equações originais obtemos:
(-x-3y+z)+(5x+4y-z)=21+(-7).
No lado esquerdo z cancela, sobrando
4x+y=14.
Então o sistema é equivalente a
\begin{cases} 4x+y=14\\[4pt] -x-3y+z=21 \end{cases}
e a matriz aumentada correspondente (após essa operação) pode ser vista como
\left[\begin{array}{ccc|c} 4 & 1 & 0 & 14\\[4pt] -1 & -3 & 1 & 21 \end{array}\right].]

Passo 4

Da primeira linha escalonada temos uma relação livre de z:
4x+y=14.
Isolando y,
y=14-4x.
Agora substituo essa expressão em uma das equações originais para encontrar z. Uso a primeira equação original -x-3y+z=21. Substituindo y:
-x-3(14-4x)+z=21.
Agora desenvolvo passo a passo: -3(14-4x) = -42 +12x. Então
-x + (-42+12x) + z = 21.
Agrupando termos em x:
(-x +12x) -42 + z = 21 \quad\Rightarrow\quad 11x -42 + z = 21.
Isolando z,
z = 21 +42 -11x = 63 -11x.

Passo 5

Concluímos que y e z podem ser expressos em função de x. Como temos três incógnitas e apenas duas equações independentes sem contradição, existe um parâmetro livre. Introduzo o parâmetro t para representar x:
x=t,\qquad y=14-4t,\qquad z=63-11t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Isso significa que há infinitas soluções (uma família de soluções linearmente parametrizada por t). Em termos de classificação: não apareceu nenhuma linha do tipo 0\\\ 0\\\ 0\\ |\\ b com b\neq0, logo o sistema não é impossível; e há menos equações independentes do que incógnitas, logo o sistema é possível indeterminado.

Passo 6

Posso escrever o conjunto solução de duas formas equivalentes, por exemplo:
forma paramétrica
\{(x,y,z)\mid x=t,\\ y=14-4t,\\ z=63-11t,\\ t\in\mathbb{R}\},
ou forma vetorial
\{(t,14-4t,63-11t)\mid t\in\mathbb{R}\}=\{(0,14,63)+t(1,-4,-11)\mid t\in\mathbb{R}\}.

Resposta

S P I
\{(x,y,z)\mid x=t,\\ y=14-4t,\\ z=63-11t,\\ t\in\mathbb{R}\}

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