4. Programação de Animações com Interpolação

Um sistema de interpolação de movimentos usa coordenadas em uma base ortonormal. Suponha que um ponto tenha coordenadas (3,4) nessa base. Ao mudar para uma nova base rotacionada B^prime=(0,1),(-1,0), o que acontece com suas coordenadas?
Questão: Determine as novas coordenadas do ponto na base B^prime e interprete como isso afeta a trajetória da animação.

Passo 1

O enunciado diz que, no sistema ortonormal original, um ponto tem coordenadas (3,4). Queremos achar as coordenadas desse mesmo ponto em relação à nova base ortonormal
B'=,b1'=(0,1),;b2'=(-1,0).
O conteúdo envolve mudança de base em R^2 e como resolver o sistema que relaciona as duas coordenadas.

Passo 2

Como B' é ortonormal, a matriz que leva coordenadas na base nova (x',y') para coordenadas na base original (x,y) tem colunas formadas por b1' e b2':
P= 0 & -1 1 & 0

Passo 3

Para achar ,(x',y') resolvemos
P x' y' = 3 4 ,
isto é, o sistema
0cdot x' + (-1)cdot y' = 3, 1cdot x' + 0cdot y' = 4

Passo 4

Da segunda equação vem
x' = 4
Da primeira temos
-y' = 3 Longrightarrow y' = -3
Logo, na base B' o ponto fica com coordenadas (4,-3).

Passo 5

Em termos de animação, passar para a base B' equivale a rotacionar o sistema de referência 90^circ no sentido anti-horário. Assim, se antes o movimento seguia o eixo x horizontal e o eixo y vertical, com a nova base essa trajetória aparece girada: o que era deslocamento em x vira deslocamento em y, e vice-versa, com inversão de sinal numa das componentes.

Resposta

As novas coordenadas são (4,-3). A trajetória fica rotacionada em 90^circ no sentido anti-horário em relação à original.

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