5. Realidade Aumentada: Sistemas de Coordenadas

Na projeção de um objeto 3D sobre uma câmera de celular, é necessário transformar as coordenadas do objeto da base do mundo para a base da câmera. A base da câmera é:
B=(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)
Questão: Dado o vetor posição do objeto na base canônica v=(2,1,3), encontre suas coordenadas na base da câmera. O que isso representa na renderização da imagem na tela?

Passo 1

O enunciado pede para expressar o vetor posição do objeto na base canônica v=(2,1,3) em relação à base da câmera
B = ,b1=(1,1,0),;b2=(0,1,1),;b3=(1,0,1)
O conteúdo usado é mudança de base em R^3, que exige resolver um sistema linear para achar as coordenadas (c1,c2,c3) tais que
c1,b1 + c2,b2 + c3,b3 ;=;v

Passo 2

Escrevemos a combinação linear pedida:
c1,(1,1,0) ;+;c2,(0,1,1) ;+;c3,(1,0,1) ;=;(2,1,3)

Passo 3

Igualando componente a componente, obtemos o sistema
c1 + c3 = 2, c1 + c2 = 1, c2 + c3 = 3

Passo 4

Resolvendo o sistema de vez: da segunda equação vem c2 = 1 - c1. Substituindo em c2 + c3 = 3
(1 - c1) + c3 = 3 Longrightarrow c3 = 2 + c1
Finalmente, na primeira equação
c1 + (2 + c1) = 2 Longrightarrow 2c1 = 0 Longrightarrow c1 = 0
Logo
c2 = 1 - 0 = 1, c3 = 2 + 0 = 2

Resposta

As coordenadas de v na base da câmera são
(c1, c2, c3) = (0,,1,,2)
Isso significa que, no referencial da câmera, o objeto está 0 unidades ao longo de b1, 1 unidade ao longo de b2 e 2 unidades ao longo de b3. Essas coordenadas são usadas no pipeline de renderização para projetar o ponto no plano da imagem da câmera e determinar sua posição na tela.

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