2. Robótica: Movimento em Bases Diferentes

Um robô manipula objetos em um braço com dois eixos de rotação. Os vetores de movimento do braço estão definidos em uma base não ortogonal B=(1,0),(1,2).
Questão: Se a posição de um ponto do braço é dada pelas coordenadas (2,1) na base B, determine sua posição no plano cartesiano padrão e explique como isso influencia o controle dos motores do robô.

Passo 1

O enunciado pede para converter as coordenadas (2,1) dadas na base não ortogonal
B = (1,0),,(1,2)
para o sistema cartesiano padrão. O conteúdo usado é mudança de base em álgebra linear, onde um vetor escrito na base B se obtém como combinação linear dos vetores de B.

Passo 2

Seja v o vetor cuja coordenadas em B são (2,1). Pela definição de mudança de base,
v ;=; 2,(1,0);+;1,(1,2)

Passo 3

Calculando a soma de vetores:
2,(1,0) = (2,0), 1,(1,2) = (1,2),
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v = (2,0)+(1,2) = (3,2)

Passo 4

Na prática do controle dos motores, cada comando (u1,u2) gera um deslocamento
De<a p = u1,(1,0) + u2,(1,2),
ou seja, mover o primeiro eixo afeta só x, mas mover o segundo altera simultaneamente x e y. Por isso, para atingir uma posição desejada em coordenadas cartesianas é preciso aplicar a matriz de mudança de base inversa e calcular os valores de u1 e u2 que resultem no De<a p correto.

Resposta

A posição no sistema cartesiano padrão é (3,2).
Como os eixos não são ortogonais, cada atuação em um motor afeta simultaneamente x e y, o que obriga a usar a transformação de base (e sua inversa) para converter entre comandos de motor e posição real do braço.

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