O que é Programação Linear? Explique por via de um exemplo. Quais são as limitações da Programação Linear?
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que é Programação Linear (PL), mostrar um exemplo prático e, por fim, apontar as principais limitações dessa técnica de otimização. Para isso vamos usar conceitos de função objetivo linear, restrições lineares, região factível e ponto ótimo.
Passo 2
Programação Linear é uma classe de problemas de otimização em que tanto a função objetivo quanto todas as restrições são expressas por funções lineares. Em termos gerais, escrevemos
Aqui cada xj é uma variável de decisão, os coeficientes cj definem a receita ou custo unitário, e as restrições limitam os recursos disponíveis. A região factível é o conjunto de todos os (x1,dots,xn) que satisfazem as desigualdades; como tudo é linear, essa região é um poliedro convexo. O Teorema Fundamental da PL garante que, se existir solução ótima, ela estará em um vértice desse poliedro.
Passo 3
Exemplo clássico: uma fábrica produz dois produtos, x e y. Cada unidade de x gera lucro de 3 e cada unidade de y gera lucro de 5. O tempo de máquina e de mão de obra disponíveis são limitados:
2x + y <= 100 (horas de máquina), á
x + 2y <= 80 (horas de trabalho),
x >= 0, y >= 0
Queremos maximizar
z = 3x + 5y
Passo 4
Resolvendo graficamente (ou usando Simplex), identificamos os vértices da região factível formados pelas interseções das restrições:
obtemos e
Logo o ponto ótimo é com lucro máximo .
Passo 5
Apesar de poderosa, a Programação Linear tem limitações importantes:
Linearidade: não modela termos quadráticos, produtos entre variáveis ou funções não lineares.
Divisibilidade: assume que as variáveis podem assumir qualquer valor real não negativo; problemas que exigem inteiros (PL inteira) precisam de métodos diferentes.
Determinismo: todos os coeficientes aij,bi,cj são considerados certos e conhecidos; não lida diretamente com incerteza ou variabilidade.
Sem economia de escala: não captura fenômenos como descontos em lote, custos fixos ou rendimentos decrescentes.
Resposta
Programação Linear é um método de otimização em que se maximiza ou minimiza uma função objetivo linear sujeita a restrições lineares, com a garantia de que a solução ótima (se existir) estará em um vértice da região factível.
Exemplo:
max z = 3x + 5y, 2x + y <= 100, x + 2y <= 80, x,y >= 0,
que tem solução ótima (x,y)=(40,20) e zmax=220.
Limitações principais: necessidade de linearidade, variáveis contínuas, coeficientes determinísticos e impossibilidade de capturar efeitos de escala ou custos fixos.