(ENEM - 2010) Nos últimos anos, a corrida de rua cresce no Brasil. Nunca se falou tanto no assunto como hoje, e a quantidade de adeptos aumenta progressivamente, afinal, correr traz inúmeros benefícios para a saúde física e mental, além de ser um esporte que não exige um alto investimento financeiro.
Disponível em:http://www.webrun.com.br. Acesso em: 28 abr. 2010. Um corredor estipulou um plano de treinamento diário, correndo 3 quilômetros no primeiro dia e aumentando 500 metros por dia, a partir do segundo. Contudo, seu médico cardiologista autorizou essa atividade até que o corredor atingisse, no máximo, 10 km de corrida em um mesmo dia de treino. Se o atleta cumprir a recomendação médica e praticar o treinamento estipulado corretamente em dias consecutivos, pode-se afirmar que esse planejamento de treino só poderá ser executado em, exatamente,
a) 12 dias.
b) 13 dias.
c) 14 dias.
d) 15 dias.
e) 16 dias.

Passo 1

Vamos escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • No primeiro dia o corredor correu 3 km.
    • A partir do segundo dia ele aumenta 500 metros por dia.
    • O médico autorizou a atividade até no máximo 10 km em um dia.
  • Pergunta:
    • Quantos dias, exatamente, esse planejamento de treino pode ser executado se o atleta cumprir o aumento diário em dias consecutivos e respeitar o limite de 10 km?

Passo 2

Converter unidades para trabalhar todas as quantidades na mesma unidade (quilômetros).
  • 500 metros equivalem a 0,5 km, porque 1 km = 1000 m e 500/1000 = 0,5.
  • Portanto, o aumento diário é de 0,5 km por dia.

Passo 3

Modelar o problema como uma progressão aritmética (PA).
  • Em uma PA os termos aumentam sempre pela mesma quantidade chamada razão. Aqui a razão é o aumento diário.
  • Denotando:
    • a_1 como a distância do primeiro dia,
    • d como a razão (aumentos por dia),
    • a_n como a distância no n-ésimo dia,
      temos a fórmula do termo geral:
a_n = a_1 + (n-1)d.
  • No nosso caso a_1 = 3 (km) e d = 0,5 (km).

Passo 4

Determinar em que dia o atleta alcança 10 km (se isso ocorrer exatamente em um dia inteiro).
  • Igualando o termo geral a 10:
a_n = 10.
  • Substituindo a_n = a_1 + (n-1)d com a_1=3 e d=0,5:
3 + (n-1)\cdot 0,5 = 10.
  • Resolver a equação passo a passo:
(n-1)\cdot 0,5 = 10 - 3 = 7,
n-1 = \frac{7}{0,5} = 7 \cdot 2 = 14,
n = 14 + 1 = 15.

Passo 5

Interpretar o resultado e verificar consistência.
  • Encontramos que no 15-º dia a_{15} = 10 km exatamente.
  • No dia seguinte, a_{16} = 3 + 15\cdot 0,5 = 3 + 7,5 = 10,5 km, que excede o limite médico de 10 km.
  • Portanto o planejamento pode ser executado em todos os dias desde o primeiro até o décimo quinto, isto é, exatamente 15 dias.

Passo 6

Resumo final e um empurrãozinho motivacional: você já sabe modelar aumentos constantes como PA, montar a equação do termo geral e resolver. Isso dá pra fazer rápido na prova — respira fundo, aplica a fórmula e checa se o resultado faz sentido com um teste simples (aqui checamos a_{16} para garantir que ultrapassa o limite).

Resposta

15 dias.

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