1. Numa progressão geométrica crescente o terceiro termo é \frac{9}{4} do primeiro e o quarto termo excede o segundo termo em cinco unidades. Determina a expressão do termo geral.

Passo 1

O enunciado considera uma progressão geométrica (PG) crescente \{a_n\} tal que:
  1. O terceiro termo é \tfrac{9}{4} vezes o primeiro, isto é, a_3 = \tfrac{9}{4}a_1.
  2. O quarto termo excede o segundo em 5 unidades, isto é, a_4 - a_2 = 5.
    Queremos encontrar a expressão do termo geral a_n.

Passo 2

Em toda PG vale a_n = a_1 r^{\,n-1}, onde r é a razão. Da relação
a_3 = a_1 r^2 = \tfrac{9}{4}\,a_1
seguimos que
r^2 = \tfrac{9}{4}.
Como a PG é crescente, r>1, logo
r = \tfrac{3}{2}.

Passo 3

Agora usamos a_4 - a_2 = 5. Escrevendo em termos de a_1 e r:
a_4 - a_2 = a_1 r^3 - a_1 r = a_1\bigl(r^3 - r\bigr) = 5.

Passo 4

Calculamos primeiro r^3 - r. Com r=\tfrac{3}{2},
r^3 = \Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^3 = \tfrac{27}{8}, \quad r^3 - r = \tfrac{27}{8} - \tfrac{3}{2} = \tfrac{27}{8} - \tfrac{12}{8} = \tfrac{15}{8}.
Logo da equação a_1\bigl(\tfrac{15}{8}\bigr)=5 vem
a_1 = \frac{5}{15/8} = \frac{5\cdot8}{15} = \frac{8}{3}.

Passo 5

Com a_1=\tfrac{8}{3} e r=\tfrac{3}{2}, o termo geral é
a_n = a_1\,r^{\,n-1} = \frac{8}{3}\,\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{n-1}.

Resposta

a_n = \frac{8}{3}\,\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{n-1}.

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