Descreva os seguintes sistemas em variáveis de estado, na forma vetorial-matricial:
dotx(t) & =A x(t)+B u(t) y(t) & =C x(t)+D u(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descrever sistemas em variáveis de estado usando a forma vetorial-matricial. Isso faz parte da teoria de sistemas dinâmicos, onde representamos como o estado de um sistema evolui ao longo do tempo e como as entradas afetam esse estado para gerar saídas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são as matrizes , , e , além de identificar as variáveis de estado , a entrada e a saída .

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre as variáveis de estado, representadas por . Essas variáveis descrevem o estado atual do sistema. Por exemplo, em um sistema de massa-mola, poderia representar a posição e a velocidade da massa.

Passo 3

A próxima coisa é a entrada do sistema, . Essa é a força ou sinal que você aplica ao sistema para influenciá-lo. Continuando com o exemplo da massa-mola, poderia ser uma força externa aplicada à massa.

Passo 4

Depois, temos a saída do sistema, . Isso é o que você mede ou observa do sistema. No nosso exemplo, poderia ser a posição da massa que você está monitorando.

Passo 5

Agora, vamos às matrizes que conectam tudo isso:
  • Matriz : Ela descreve como o estado do sistema evolui ao longo do tempo sem entrada externa. Basicamente, mostra como as variáveis de estado interagem entre si.
  • Matriz : Essa matriz mostra como a entrada afeta as variáveis de estado .
  • Matriz : Ela relaciona o estado do sistema com a saída . Basicamente, diz como o que está acontecendo dentro do sistema se traduz no que você vê na saída.
  • Matriz : Essa matriz mostra como a entrada afeta diretamente a saída , sem passar pelo estado.

Resposta

Então, juntando tudo isso, a descrição do sistema em variáveis de estado na forma vetorial-matricial fica assim:
dotx(t) & =A x(t)+B u(t) y(t) & =C x(t)+D u(t)
Essa representação nos ajuda a entender e analisar como o sistema se comporta, facilitando a aplicação de ferramentas de controle e análise.

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