Projetar um controlador por realimentação de estado através da alocação de polos, de forma a seguir uma referência degrau unitário sem utilizar integradores na malha. Aloque os polos em malha fechada em z1=0.2+0.2 j e z2=0.2-0.2 j.
Resposta: K=[ll-0.08 & -1.4] K0=0.68

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra projetar um realimentador de estados (sem usar integrador) para um sistema discreto de segunda ordem, de modo que o erro em regime seja zero para um degrau unitário. A ideia é usar alocação de polos em
z1=0.2+0.2j, z2=0.2-0.2j
e depois ajustar um ganho “feed-forward” K0 ;=;1Cl[I-(A - B,K)r]^-1B, para garantir seguimento de referência unitária. O que vamos usar aqui é:
  • Espaço de estados em forma canônica de controlabilidade,
  • Colocação de polos via igualação de coeficientes do polinômio característico,
  • Cálculo do ganho de referência pela fórmula

Passo 2

Primeiro, monta o polinômio característico desejado. Como os polos são phid(z);=;(z-z1)(z-z2) =;z^2 - (z1+z2),z + z1,z2 =;z^2 - 0.4,z + 0.08, , temos

Passo 3

Agora, usamos a forma canônica de controlabilidade para o sistema aberto:
A=0 & 1 -0.16 & -1, B=01, C=1 & 0
O polinômio característico original é
p(z)=det(zI - A)=z^2 + z + 0.16,
Se a gente realimenta com K = l[k1;;k2r], , com
detl(zI - (A - B,K)r) = z^2 + (1 + k2),z + (0.16 + k1),
o novo 1 + k2 = -0.4 0.16 + k1 = 0.08 Longrightarrow k2 = -1.4, k1 = -0.08 gera o polinômio
K = l[-0.08;;-1.4r]
Pra igualar a , basta resolver:
Logo

Passo 4

Falta achar o ganho K0 ;=;1C,(I - (A - B,K))^-1B para que, no regime permanente com degrau unitário em K0 = 0.68 , a saída seja 1. A fórmula é
Se você faz a conta (inverte a matriz e multiplica em , depois junta com ), chega em

Resposta

K =
K₀ = 0.68

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