Projete um circuito com Amp Ops que implemente o seguinte cálculo:
(2,5 pontos)
y(t)=x_{1}(t)-\frac{1}{k_{t}}\left[c\left(\frac{d x_{2}(t)}{d t}-\frac{d x_{1}(t)}{d t}\right)+k_{s}\left(x_{1}(t)-x_{2}(t)\right)\right]
Onde: x_{1}, x_{2} e y são sinais elétricos em função do tempo t; e k_{t} k_{s} e c_{s} são constantes maiores que zero.

Passo 1

O enunciado pede projetar um circuito com amplificadores operacionais que implemente a seguinte relação entre sinais no tempo:
y(t)=x_{1}(t)-\frac{1}{k_{t}}\Big[c\Big(\frac{d x_{2}(t)}{d t}-\frac{d x_{1}(t)}{d t}\Big)+k_{s}\big(x_{1}(t)-x_{2}(t)\big)\Big]
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
\text{Sinais: }x_{1}(t),\;x_{2}(t),\;y(t).
\text{Constantes positivas: }k_{t}>0,\;k_{s}>0,\;c>0.
O que precisamos entregar: um projeto (blocos e relações entre resistores/capacitores) que, idealmente com amplificadores operacionais ideais, reproduza a expressão acima. Não há valores numéricos específicos para k_{t},k_{s},c; portanto o projeto terá relações entre componentes (razões de resistores e produto RC) que garantam os ganhos corretos.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão para separar termos algébricos de termos com derivada (isso facilita o projeto em blocos):
y = x_{1} - \frac{c}{k_{t}}\left(\frac{d x_{2}}{dt}-\frac{d x_{1}}{dt}\right) - \frac{k_{s}}{k_{t}}\left(x_{1}-x_{2}\right).
Expandindo os termos:
y = x_{1} - \frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{2}}{dt} + \frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{1}}{dt} - \frac{k_{s}}{k_{t}}x_{1} + \frac{k_{s}}{k_{t}}x_{2}.
Agrupando os termos que multiplicam x_{1}, x_{2} e as derivadas:
y = \Big(1-\frac{k_{s}}{k_{t}}\Big)x_{1} + \frac{k_{s}}{k_{t}}x_{2} \;+\; \frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{1}}{dt} \;-\; \frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{2}}{dt}.
Esta forma revela claramente quatro contribuições que o circuito deve somar:
  1. Um ganho estático sobre x_{1}: \big(1-\tfrac{k_{s}}{k_{t}}\big)x_{1}.
  2. Um ganho estático sobre x_{2}: \tfrac{k_{s}}{k_{t}}x_{2}.
  3. Um termo derivativo \tfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt}.
  4. Um termo derivativo -\tfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{2}}{dt}.
No projeto vamos criar blocos que gerem esses quatro sinais escalados e depois somá-los.

Passo 3

Apresento os blocos básicos de op-amp que usarei e a fórmula fundamental de cada um (explicando como funciona, passo a passo):
  1. Amplificador inversor (ganho constante):
  • Configuração: resistor de entrada R_{\text{in}} e resistor de realimentação R_{f}.
  • Relação entrada-saída:
V_{\text{out}} = -\frac{R_{f}}{R_{\text{in}}} V_{\text{in}}.
  • Significado: com um único op-amp você pode obter qualquer ganho negativo multiplicando a razão R_{f}/R_{\text{in}}. Para ganhar positivo, basta inverter o sinal de novo (usar um inversor unity-gain) ou manipular somas com sinais apropriados.
  1. Somador inversor (soma ponderada):
  • Configuração: entradas V_{1},V_{2},\dots cada uma com um resistor R_{1},R_{2},\dots para um op-amp com realimentação R_{f}.
  • Fórmula:
V_{\text{out}} = -R_{f}\Big(\frac{V_{1}}{R_{1}}+\frac{V_{2}}{R_{2}}+\cdots\Big).
  • Significado: soma linear com sinais negativos; ajustando cada R_{i} você escolhe os pesos relativos.
  1. Amplificador diferencial (subtrator) com ganho unitário (modo clássico):
  • Configuração padrão com quatro resistores iguais R dá:
V_{\text{out}} = V_{2}-V_{1}
se colocarmos V_{2} no ramo não inversor e V_{1} no ramo inversor com resistores apropriados. Mais geralmente, com resistores ajustáveis você obtém
V_{\text{out}} = \frac{R_{2}}{R_{1}}(V_{2}-V_{1}).
  • Significado: fornece a diferença entre dois sinais com um ganho ajustável. Útil para implementar \dfrac{d x_{1}}{dt}-\dfrac{d x_{2}}{dt} ou x_{1}- x_{2}.
  1. Diferenciador (inversor) ideal com op-amp:
  • Configuração mais simples: resistor de entrada R_{D} em série com a entrada e um capacitor C_{D} na realimentação (entre saída e entrada inversora).
  • Fórmula (para op-amp ideal e frequências onde aproximação é válida):
V_{\text{out}} = -R_{D}C_{D}\,\frac{d V_{\text{in}}}{dt}.
  • Significado: produz uma saída proporcional à derivada de V_{\text{in}}; nota importante: o sinal é negativo. Podemos ajustar a constante multiplicativa escolhendo R_{D}C_{D}.
Comentário prático: como o diferenciador ideal pode amplificar ruído em altas frequências, em aplicação real costuma-se usar versões atenuadas/compensadas, mas aqui tratamos o caso ideal pois o exercício é de projeto conceitual.

Passo 4

Projetando os termos derivativos \dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt} e -\dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{2}}{dt}.
  • Use dois diferenciadores inversores idênticos (um para x_{1} e outro para x_{2}). Para cada diferenciador escolhemos R_{D} e C_{D} satisfazendo:
R_{D} C_{D} = \frac{c}{k_{t}}.
  • Com essa escolha, o sinal de saída do diferenciador aplicado a x_{1} é
V_{D1} = -\frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{1}}{dt},
e para x_{2}:
V_{D2} = -\frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{2}}{dt}.
  • Queremos os termos \;+\frac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt} e -\frac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{2}}{dt}.
    • Observe que V_{D2} já é -\dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{2}}{dt}, ou seja, coincide com o termo desejado para x_{2}.
    • V_{D1} = -\dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt} tem sinal trocado em relação ao que queremos. Para obter +\dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt} basta inverter V_{D1} com um inversor unity-gain (amplificador inversor com R_{f}=R_{\text{in}}); chame a saída invertida de V_{D1}^{+}:
V_{D1}^{+} = -V_{D1} = +\frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{1}}{dt}.
  • Agora temos exatamente os dois sinais derivativos desejados:
\text{Termo derivativo final }B = V_{D1}^{+} + V_{D2} = \frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{1}}{dt} - \frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{2}}{dt}.
  • Implementação prática:
    • U1: diferenciador com R_{D},C_{D} alimentado por x_{1} → saída V_{D1}.
    • U2: inversor unity-gain que inverte V_{D1} → saída V_{D1}^{+}.
    • U3: diferenciador idêntico com R_{D},C_{D} alimentado por x_{2} → saída V_{D2}.
    • U4: somador (pode ser um somador inversor seguido de inversor, ou um somador não inversor ideal) que soma V_{D1}^{+} e V_{D2} com ganho unitário para gerar B.
Observação de implementação mais direta: ao invés de usar um inversor seguido de somador, pode-se também usar um amplificador diferencial configurado para efetuar V_{D1}^{+}-(-V_{D2}), mas a sequência diferenciador → inverter → somador é didaticamente clara.

Passo 5

Projetando os termos estáticos \big(1-\tfrac{k_{s}}{k_{t}}\big)x_{1} e \tfrac{k_{s}}{k_{t}}x_{2}.
  • Vamos construir um somador ponderado que gere:
A = \Big(1-\frac{k_{s}}{k_{t}}\Big)x_{1} + \frac{k_{s}}{k_{t}}x_{2}.
  • Uma forma simples: usar um somador inversor seguido de um inversor para recuperar sinal positivo. Passos:
    1. Use um somador inversor (op-amp U5) com realimentação R_{F5} e resistores de entrada R_{a} para x_{1} e R_{b} para x_{2}. A saída do somador será:
    V_{S} = -R_{F5}\Big(\frac{x_{1}}{R_{a}}+\frac{x_{2}}{R_{b}}\Big).
    1. Queremos V_{S} = -A. Assim impondo:
    \frac{R_{F5}}{R_{a}} = 1-\frac{k_{s}}{k_{t}},\qquad \frac{R_{F5}}{R_{b}} = \frac{k_{s}}{k_{t}}.
    1. Depois do somador inversor aplicamos um inversor unity-gain (op-amp U6) para obter A = -V_{S}.
  • Escolha prática: fixe R_{F5}=R_{0} (um valor conveniente, por exemplo R_{0}=10\text{ k}\Omega), então:
R_{a} = \frac{R_{0}}{1-\frac{k_{s}}{k_{t}}},\qquad R_{b} = \frac{R_{0}}{\frac{k_{s}}{k_{t}}} = \frac{R_{0}k_{t}}{k_{s}}.
  • Observação importante: se 1-\tfrac{k_{s}}{k_{t}} for negativo (isto é, se k_{s}>k_{t}) o resistor R_{a} ficaria negativo na expressão acima — isso significa que a versão com somador inversor mais inversor precisaria ser trocada por uma topologia que trate sinais negativos naturalmente (por exemplo somador com sinais adequados ou usar um ganho negativo seguido por outra inversão). Em termos práticos, é melhor sempre projetar usando relações de razão: você pode obter coeficientes positivos ou negativos controlando a configuração (inversor ou não) — aqui estou descrevendo a construção geral; se 1-\tfrac{k_{s}}{k_{t}}<0 troque o sinal de x_{1} na etapa de somador e ajuste inversões adicionais. O procedimento permanece o mesmo: escolher resistores para atingir as magnitudes dos ganhos e organizar inversões para obter os sinais desejados.

Passo 6

Somar os blocos estático e derivativo para obter y.
  • Após Passo 4 temos B (o termo derivativo) e após Passo 5 temos A (os termos estáticos). Precisamos somá-los:
y = A + B.
  • Implementação direta: use um somador inversor final (op-amp U7) para somar -A e -B e, se necessário, inverter o sinal final. Uma alternativa mais simples e clara é:
    • Se A e B já estiverem com sinal positivo (como projetados acima), use um somador inversor onde as entradas são A e B com resistores iguais e escolha R_{F7} tal que o ganho seja -1 para cada entrada; a saída desse somador será -(A+B). Em seguida aplique um inversor unity (op-amp U8) para recuperar y=A+B.
    • Ou então use um somador não inversor (mais trabalhoso) para obter y diretamente sem inversões finais. Para clareza didática a solução com somador inversor + inversor final é fácil de acompanhar.
  • Relações de resistores para somador final:
    • Somador inversor U7 com R_{F7}=R_{S} e entradas R_{A7}=R_{B7}=R_{S} produz V_{7} = -(A+B).
    • Inversor unity U8 (resistores iguais) produz y = -V_{7} = A+B.

Passo 7

Resumo do projeto em forma de steps práticos e relações de componentes (mapa final do circuito):
Componentes/Op-amps e conexões (nomes dos op-amps são sugestivos):
  • U1: diferenciador para x_{1} com R_{D},C_{D} tal que
R_{D}C_{D}=\frac{c}{k_{t}}.
Saída: V_{D1}=-\dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt}.
  • U2: inversor unity que inverte V_{D1}. Saída: V_{D1}^{+}=+\dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt}.
  • U3: diferenciador para x_{2} idêntico a U1 (mesmos R_{D},C_{D}). Saída: V_{D2}=-\dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{2}}{dt}.
  • U4: somador dos termos derivativos. Entradas: V_{D1}^{+} e V_{D2}. Configure U4 para somar com ganho unitário:
    • Ex.: somador inversor seguido de inversor unity, ou usar somador com resistores escolhidos para que V_{B}=V_{D1}^{+}+V_{D2}.
      Resultado: B = \dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt} - \dfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{2}}{dt}.
  • U5: somador inversor que gera -A a partir de x_{1} e x_{2}. Escolha R_{F5}=R_{0} arbitrário (por exemplo 10\text{ k}\Omega). Então coloque resistores de entrada:
R_{a}=\frac{R_{0}}{1-\frac{k_{s}}{k_{t}}},\qquad R_{b}=\frac{R_{0}}{\frac{k_{s}}{k_{t}}}=\frac{R_{0}k_{t}}{k_{s}}.
A saída de U5 é V_{S}=-A.
  • U6: inversor unity que inverte V_{S} para obter A.
  • U7: somador final: some A e B. Pode ser implementado como somador inversor com resistores iguais R_{S} e realimentação R_{S}, seguido por inversor unity para recuperar o sinal positivo. Assim escolha R_{S}=R_{0} (mesmo valor prático) e faça:
    • U7 (somador inversor): entradas A e B via resistores R_{S}, realimentação R_{S} → saída V_{7}=-(A+B).
    • U8 (inversor unity): inverte V_{7} → saída final y=A+B.
Observações práticas e escolhas:
  • Para o diferenciador escolha C_{D} um valor prático (por ex. 10\text{ nF}) e calcule R_{D}=(c/k_{t})/C_{D}. Se R_{D} ficar muito grande ou muito pequeno escolha outro C_{D} e recalcule.
  • Para todos os somadores/inversores unity escolha pares de resistores iguais (por ex. 10\text{ k}\Omega) para simplificar a construção.
  • Se alguma razão de ganho surgir negativa (por exemplo 1-\tfrac{k_{s}}{k_{t}}<0), reorganize sinais trocando entradas entre caminhos inversores e não inversores conforme indicado anteriormente; a abordagem por somador inversor + inversor final continua válida ajustando os resistores para as magnitudes desejadas.

Passo 8

Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como escolher valores):
  • Suponha que você fixe R_{0}=10\text{ k}\Omega e escolha C_{D}=10\text{ nF}.
  • Então para o diferenciador R_{D}=\dfrac{c/k_{t}}{C_{D}}=\dfrac{c}{k_{t}\,C_{D}}.
  • Para o somador estático, use R_{F5}=R_{0}=10\text{ k}\Omega, então:
R_{a}=\frac{10\text{ k}\Omega}{1-\tfrac{k_{s}}{k_{t}}},\qquad R_{b}=\frac{10\text{ k}\Omega\,k_{t}}{k_{s}}.
  • Se quiser todos os resistores práticos entre, digamos, 1\text{ k}\Omega e 1\text{ M}\Omega, escolha C_{D} e R_{0} de forma que R_{D} e R_{a},R_{b} caiam nessa faixa.

Resposta

Descrição dos blocos do circuito e as relações entre componentes para implementar
y(t)=\Big(1-\frac{k_{s}}{k_{t}}\Big)x_{1}(t)+\frac{k_{s}}{k_{t}}x_{2}(t)+\frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{1}(t)}{dt}-\frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{2}(t)}{dt}.
  1. Dois diferenciadores inversores (U1 para x_{1}, U3 para x_{2}) com
R_{D}C_{D}=\frac{c}{k_{t}},
produzindo V_{D1}=-\tfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt} e V_{D2}=-\tfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{2}}{dt}.
  1. Inversor unity (U2) para inverter V_{D1} e obter V_{D1}^{+}=+\tfrac{c}{k_{t}}\dfrac{d x_{1}}{dt}.
  2. Somador dos sinais derivativos (U4) para obter
B = V_{D1}^{+}+V_{D2}=\frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{1}}{dt}-\frac{c}{k_{t}}\frac{d x_{2}}{dt}.
  1. Somador inversor (U5) seguido de inversor unity (U6) para obter o termo estático A. Com R_{F5}=R_{0} escolhido (ex.: 10\text{ k}\Omega) definir:
R_{a}=\frac{R_{0}}{1-\frac{k_{s}}{k_{t}}},\qquad R_{b}=\frac{R_{0}k_{t}}{k_{s}},
de modo que saída de U6 seja
A=\Big(1-\frac{k_{s}}{k_{t}}\Big)x_{1}+\frac{k_{s}}{k_{t}}x_{2}.
  1. Somador final (U7 somador inversor com resistores iguais R_{S}, seguido de inversor unity U8) para obter
y = A + B.
Observações finais: escolha prática de R_{0} e C_{D} permite calcular numericamente R_{D}, R_{a}, R_{b} conforme as fórmulas acima; se algum ganho tiver sinal negativo (ex.: 1-\tfrac{k_{s}}{k_{t}}<0) reorganize as inversões conforme indicado, mantendo as magnitudes definidas pelas mesmas relações.

Exercícios relacionados