Projete um circuito com Amp Ops que implemente o seguinte cálculo:
(2,5 pontos)
Onde:
e
são sinais elétricos em função do tempo
; e
e
são constantes maiores que zero.
(2,5 pontos)
Onde:
Passo 1
O enunciado pede projetar um circuito com amplificadores operacionais que implemente a seguinte relação entre sinais no tempo:
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
O que precisamos entregar: um projeto (blocos e relações entre resistores/capacitores) que, idealmente com amplificadores operacionais ideais, reproduza a expressão acima. Não há valores numéricos específicos para
; portanto o projeto terá relações entre componentes (razões de resistores e produto
) que garantam os ganhos corretos.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão para separar termos algébricos de termos com derivada (isso facilita o projeto em blocos):
Expandindo os termos:
Agrupando os termos que multiplicam
,
e as derivadas:
Esta forma revela claramente quatro contribuições que o circuito deve somar:
- Um ganho estático sobre
: . - Um ganho estático sobre
: . - Um termo derivativo
. - Um termo derivativo
.
No projeto vamos criar blocos que gerem esses quatro sinais escalados e depois somá-los.
Passo 3
Apresento os blocos básicos de op-amp que usarei e a fórmula fundamental de cada um (explicando como funciona, passo a passo):
- Amplificador inversor (ganho constante):
- Configuração: resistor de entrada
e resistor de realimentação . - Relação entrada-saída:
- Significado: com um único op-amp você pode obter qualquer ganho negativo multiplicando a razão
. Para ganhar positivo, basta inverter o sinal de novo (usar um inversor unity-gain) ou manipular somas com sinais apropriados.
- Somador inversor (soma ponderada):
- Configuração: entradas
cada uma com um resistor para um op-amp com realimentação . - Fórmula:
- Significado: soma linear com sinais negativos; ajustando cada
você escolhe os pesos relativos.
- Amplificador diferencial (subtrator) com ganho unitário (modo clássico):
- Configuração padrão com quatro resistores iguais
dá:
se colocarmos
no ramo não inversor e
no ramo inversor com resistores apropriados. Mais geralmente, com resistores ajustáveis você obtém
- Significado: fornece a diferença entre dois sinais com um ganho ajustável. Útil para implementar
ou - .
- Diferenciador (inversor) ideal com op-amp:
- Configuração mais simples: resistor de entrada
em série com a entrada e um capacitor na realimentação (entre saída e entrada inversora). - Fórmula (para op-amp ideal e frequências onde aproximação é válida):
- Significado: produz uma saída proporcional à derivada de
; nota importante: o sinal é negativo. Podemos ajustar a constante multiplicativa escolhendo .
Comentário prático: como o diferenciador ideal pode amplificar ruído em altas frequências, em aplicação real costuma-se usar versões atenuadas/compensadas, mas aqui tratamos o caso ideal pois o exercício é de projeto conceitual.
Passo 4
Projetando os termos derivativos
e
.
- Use dois diferenciadores inversores idênticos (um para
e outro para ). Para cada diferenciador escolhemos e satisfazendo:
- Com essa escolha, o sinal de saída do diferenciador aplicado a
é
e para
:
- Queremos os termos
e . - Observe que
já é , ou seja, coincide com o termo desejado para . - Já
tem sinal trocado em relação ao que queremos. Para obter basta inverter com um inversor unity-gain (amplificador inversor com ); chame a saída invertida de :
- Observe que
- Agora temos exatamente os dois sinais derivativos desejados:
- Implementação prática:
- U1: diferenciador com
alimentado por → saída . - U2: inversor unity-gain que inverte
→ saída . - U3: diferenciador idêntico com
alimentado por → saída . - U4: somador (pode ser um somador inversor seguido de inversor, ou um somador não inversor ideal) que soma
e com ganho unitário para gerar .
- U1: diferenciador com
Observação de implementação mais direta: ao invés de usar um inversor seguido de somador, pode-se também usar um amplificador diferencial configurado para efetuar
, mas a sequência diferenciador → inverter → somador é didaticamente clara.
Passo 5
Projetando os termos estáticos
e
.
- Vamos construir um somador ponderado que gere:
- Uma forma simples: usar um somador inversor seguido de um inversor para recuperar sinal positivo. Passos:
- Use um somador inversor (op-amp U5) com realimentação
e resistores de entrada para e para . A saída do somador será:
- Queremos
. Assim impondo:
- Depois do somador inversor aplicamos um inversor unity-gain (op-amp U6) para obter
.
- Use um somador inversor (op-amp U5) com realimentação
- Escolha prática: fixe
(um valor conveniente, por exemplo ), então:
- Observação importante: se
for negativo (isto é, se ) o resistor ficaria negativo na expressão acima — isso significa que a versão com somador inversor mais inversor precisaria ser trocada por uma topologia que trate sinais negativos naturalmente (por exemplo somador com sinais adequados ou usar um ganho negativo seguido por outra inversão). Em termos práticos, é melhor sempre projetar usando relações de razão: você pode obter coeficientes positivos ou negativos controlando a configuração (inversor ou não) — aqui estou descrevendo a construção geral; se troque o sinal de na etapa de somador e ajuste inversões adicionais. O procedimento permanece o mesmo: escolher resistores para atingir as magnitudes dos ganhos e organizar inversões para obter os sinais desejados.
Passo 6
Somar os blocos estático e derivativo para obter
.
- Após Passo 4 temos
(o termo derivativo) e após Passo 5 temos (os termos estáticos). Precisamos somá-los:
- Implementação direta: use um somador inversor final (op-amp U7) para somar
e e, se necessário, inverter o sinal final. Uma alternativa mais simples e clara é: - Se
e já estiverem com sinal positivo (como projetados acima), use um somador inversor onde as entradas são e com resistores iguais e escolha tal que o ganho seja -1 para cada entrada; a saída desse somador será . Em seguida aplique um inversor unity (op-amp U8) para recuperar . - Ou então use um somador não inversor (mais trabalhoso) para obter
diretamente sem inversões finais. Para clareza didática a solução com somador inversor + inversor final é fácil de acompanhar.
- Se
- Relações de resistores para somador final:
- Somador inversor U7 com
e entradas produz . - Inversor unity U8 (resistores iguais) produz
.
- Somador inversor U7 com
Passo 7
Resumo do projeto em forma de steps práticos e relações de componentes (mapa final do circuito):
Componentes/Op-amps e conexões (nomes dos op-amps são sugestivos):
- U1: diferenciador para
com tal que
Saída:
.
-
U2: inversor unity que inverte
. Saída: . -
U3: diferenciador para
idêntico a U1 (mesmos ). Saída: . -
U4: somador dos termos derivativos. Entradas:
e . Configure U4 para somar com ganho unitário: - Ex.: somador inversor seguido de inversor unity, ou usar somador com resistores escolhidos para que
.
Resultado:.
- Ex.: somador inversor seguido de inversor unity, ou usar somador com resistores escolhidos para que
-
U5: somador inversor que gera
a partir de e . Escolha arbitrário (por exemplo ). Então coloque resistores de entrada:
A saída de U5 é
.
-
U6: inversor unity que inverte
para obter . -
U7: somador final: some
e . Pode ser implementado como somador inversor com resistores iguais e realimentação , seguido por inversor unity para recuperar o sinal positivo. Assim escolha (mesmo valor prático) e faça: - U7 (somador inversor): entradas
e via resistores , realimentação → saída . - U8 (inversor unity): inverte
→ saída final .
- U7 (somador inversor): entradas
Observações práticas e escolhas:
- Para o diferenciador escolha
um valor prático (por ex. ) e calcule . Se ficar muito grande ou muito pequeno escolha outro e recalcule. - Para todos os somadores/inversores unity escolha pares de resistores iguais (por ex.
) para simplificar a construção. - Se alguma razão de ganho surgir negativa (por exemplo
), reorganize sinais trocando entradas entre caminhos inversores e não inversores conforme indicado anteriormente; a abordagem por somador inversor + inversor final continua válida ajustando os resistores para as magnitudes desejadas.
Passo 8
Exemplo numérico ilustrativo (apenas para ver como escolher valores):
- Suponha que você fixe
e escolha . - Então para o diferenciador
. - Para o somador estático, use
, então:
- Se quiser todos os resistores práticos entre, digamos,
e , escolha e de forma que e caiam nessa faixa.
Resposta
Descrição dos blocos do circuito e as relações entre componentes para implementar
- Dois diferenciadores inversores (U1 para
, U3 para ) com
produzindo
e
.
-
Inversor unity (U2) para inverter
e obter . -
Somador dos sinais derivativos (U4) para obter
- Somador inversor (U5) seguido de inversor unity (U6) para obter o termo estático
. Com escolhido (ex.: ) definir:
de modo que saída de U6 seja
- Somador final (U7 somador inversor com resistores iguais
, seguido de inversor unity U8) para obter
Observações finais: escolha prática de
e
permite calcular numericamente
,
,
conforme as fórmulas acima; se algum ganho tiver sinal negativo (ex.:
) reorganize as inversões conforme indicado, mantendo as magnitudes definidas pelas mesmas relações.