Projete o circuito lógico correspondente à tabela-verdade mostrada na tabela abaixo.
\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C} \mathbf{x}
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Projetar o circuito lógico que implementa a saída \mathbf{x} a partir das entradas \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, usando a tabela-verdade dada.
Informações fornecidas (cada linha da tabela, com o índice do mintermo calculado como i=4A+2B+C):
  • (A,B,C)=(0,0,0) i=0 x=1.
  • (A,B,C)=(0,0,1) i=1 x=0.
  • (A,B,C)=(0,1,0) i=2 x=1.
  • (A,B,C)=(0,1,1) i=3 x=1.
  • (A,B,C)=(1,0,0) i=4 x=1.
  • (A,B,C)=(1,0,1) i=5 x=0.
  • (A,B,C)=(1,1,0) i=6 x=0.
  • (A,B,C)=(1,1,1) i=7 x=1.
Resumo útil: os mintermos onde x=1 são i\in\{0,2,3,4,7\}.

Passo 2

Converter a tabela-verdade em expressão inicial (Soma de Mintermos).
  • Definição rápida: um mintermo é um produto (AND) de todas as variáveis, cada uma na forma direta ou negada, que corresponde a uma linha única da tabela-verdade. Ex.: para (A,B,C)=(0,1,0) o mintermo é \overline{A}BC' (vou escrever \overline{C} em vez de C').
  • Escrevendo cada mintermo onde x=1: \begin{aligned} m_0 &= \overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C},\\\ m_2 &= \overline{A}\,B\,\overline{C},\\\ m_3 &= \overline{A}\,B\,C,\\\ m_4 &= A\,\overline{B}\,\overline{C},\\\ m_7 &= A\,B\,C. \end{aligned}
  • Assim a expressão direta (não simplificada) em Soma de Produtos é x=\overline{A}\,\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,\overline{C}+\overline{A}\,B\,C+A\,\overline{B}\,\overline{C}+A\,B\,C.

Passo 3

Por que simplificar e qual método usar.
  • Explicação curta: a expressão acima funciona, mas pode ter muitos termos e muitas portas. Para reduzir número de portas usamos simplificação algébrica ou um Mapa de Karnaugh (K-map), que é uma técnica visual que agrupa mintermos adjacentes (em potências de 2) para eliminar variáveis.
  • Vou usar um K-map 3-variáveis porque é rápido e didático: ele mostra agrupamentos que permitem eliminar variáveis que mudam dentro do grupo.

Passo 4

Construir e preencher o K-map (organização e preenchimento).
  • Organização do K-map: duas linhas para A=0 e A=1; quatro colunas para (B,C) em ordem Gray: 00,01,11,10. Assim as colunas correspondem aos índices 0,1,3,2 na linha A=0 e 4,5,7,6 na linha A=1.
  • Preenchimento usando os mintermos que obtivemos (peguei-os da tabela-verdade):
    • Linha A=0, colunas 00,01,11,10 (índices 0,1,3,2) → valores 1,0,1,1.
    • Linha A=1, colunas 00,01,11,10 (índices 4,5,7,6) → valores 1,0,1,0.
  • Em resumo as células do K-map são: \begin{array}{c|cccc} & BC=00 & BC=01 & BC=11 & BC=10\\hline A=0 & 1 & 0 & 1 & 1\\\ A=1 & 1 & 0 & 1 & 0 \end{array}

Passo 5

Fazer os agrupamentos no K-map e traduzir para termos simplificados.
  • Regras de agrupamento rápidas: agrupar 1, 2, 4, 8… células que sejam adjacentes (inclui adjacência circular). Cada agrupamento elimina uma variável da expressão (para cada duplicação de tamanho do grupo elimina-se uma variável).
  • Grupos escolhidos (explicando por que cada grupo é legal):
    1. Grupo vertical das células índices 0 e 4 (coluna BC=00, tanto A=0 quanto A=1) → as duas células têm B=0 e C=0 fixos; A varia. Logo o termo simplificado é \overline{B}\,\overline{C}.(Explicação didática: porque ao agrupar (0,4) eliminamos A da expressão; ficam apenas as literais que não mudaram: \overline{B} e \overline{C}.)
    2. Grupo horizontal das células índices 2 e 3 (linha A=0, colunas BC=10 e BC=11) → aqui A=0 e B=1 são fixos, C varia. Termo: \overline{A}\,B.
    3. Grupo vertical das células índices 3 e 7 (coluna BC=11, tanto A=0 quanto A=1) → aqui B=1 e C=1 são fixos; A varia. Termo: B\,C.
  • Observação: as células podem pertencer a mais de um grupo (overlap) se isso ajudar a simplificar; por isso a célula 3 entrou em dois grupos.

Passo 6

Montar a expressão simplificada e apresentar forma ótima para implementação.
  • Somando os termos obtidos: x=\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B+B\,C.(Esta é uma forma simplificada em Soma de Produtos com três termos.)
  • Podemos fatorar um pouco para reduzir portas se quisermos: x=\overline{B}\,\overline{C}+B\bigl(\overline{A}+C\bigr).(Fatoração útil porque substitui dois ANDs + OR por um OR interno \overline{A}+C e um AND com B.)
  • Implementação em portas (duas opções, descrevo passos práticos):
    Opção A — direta a partir da soma de produtos:
    1. Gere \overline{A}, \overline{B}, \overline{C} com três inversores.
    2. Faça AND1 = \overline{B}\,\overline{C} (porta AND de 2 entradas).
    3. Faça AND2 = \overline{A}\,B (porta AND de 2 entradas).
    4. Faça AND3 = B\,C (porta AND de 2 entradas).
    5. Faça OR final = AND1 + AND2 + AND3 (porta OR de 3 entradas).
      Opção B — usando a fatoração x=\overline{B}\,\overline{C}+B(\overline{A}+C):
    6. Gere \overline{A}, \overline{B}, \overline{C}.
    7. Faça OR1 = \overline{A}+C (porta OR de 2 entradas).
    8. Faça AND1 = B\cdotOR1 (porta AND de 2 entradas).
    9. Faça AND2 = \overline{B}\,\overline{C}.
    10. Faça OR final = AND2 + AND1 (porta OR de 2 entradas).
  • Verificação rápida de consistência (checar algumas linhas da tabela):
    • Para (A,B,C)=(1,1,1): \overline{B}\overline{C}=0, \overline{A}B=0, BC=1 x=1 (ok).
    • Para (A,B,C)=(1,1,0): \overline{B}\overline{C}=0, \overline{A}B=0, BC=0 x=0 (ok).
    • Para (A,B,C)=(0,1,0): \overline{B}\overline{C}=0, \overline{A}B=1, BC=0 x=1 (ok).

Resposta

x=\overline{B}\,\overline{C}+\overline{A}\,B+B\,C
ou, fatorada,
x=\overline{B}\,\overline{C}+B\bigl(\overline{A}+C\bigr)

Exercícios relacionados